Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em Q[X] :
g(X)=X^7+X^4-3 X+1

Passo 1

O polinômio dado é g(X)=X7+X4−3X+1 em ℚ[X]. Para verificar se ele é irredutível, vamos usar o teste da raiz racional para tentar extrair um fator linear e depois analisar o quociente.

Passo 2

Pelo teste da raiz racional, as únicas raízes possíveis em ℚ são ±1. Calculamos: g(1)=1+1−3+1=0 e g(−1)=−1+1+3+1=4≠0. Portanto X−1 é um fator de g(X).

Passo 3

Dividindo g(X) por X−1 (divisão sintética ou longa) obtemos o quociente h(X):
h(X)=X^6+X^5+X^4+2X^3+2X^2+2X−1

Passo 4

Agora aplicamos novamente o teste da raiz racional em h(X). As possíveis raízes são ±1, mas h(1)=1+1+1+2+2+2−1=8≠0 e h(−1)=1−1+1−2+2−2−1=−2≠0. Logo não há fator linear.

Passo 5

Para ver se h(X) se decompõe em fatores de grau maior mas ainda com coeficientes racionais, poderíamos tentar uma fatoração cúbica·cúbica. Isso leva a um sistema de equações com incógnitas racionais sem solução racional, mostrando que h(X) é irredutível em ℚ[X].

Passo 6

Concluímos que g(X) se fatoriza como (X−1)·h(X), com h(X) irreduzível em ℚ[X].

Resposta

g(X) não é irredutível em ℚ[X], pois g(X)=(X-1)(X^6+X^5+X^4+2X^3+2X^2+2X-1), sendo o segundo fator irreduzível.

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