Verifique se os pontos A=(-3,4,2), B=(1,-1,4) e C=(3,-5,-16) são colineares, ou seja, se eles pertencem à mesma reta.

Passo 1

O enunciado solicita verificar se os pontos \,A=(-3,4,2), \,B=(1,-1,4) e \,C=(3,-5,-16) são colineares, ou seja, se pertencem a uma mesma reta em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar geometria vetorial: três pontos são colineares se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos, isto é, se existir um escalar t tal que
\overrightarrow{AC}=t\,\overrightarrow{AB}.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Temos
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-3),\,-1-4,\,4-2)=(4,-5,2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-(-3),\,-5-4,\,(-16)-2)=(6,-9,-18).

Passo 3

Verificar se existe escalar t que satisfaça
(6,-9,-18)=t\,(4,-5,2).
Isso gera o sistema
6=4t,\quad -9=-5t,\quad -18=2t.
Daqui vêm
t_1=\frac{6}{4}=1,5,\quad t_2=\frac{-9}{-5}=1,8,\quad t_3=\frac{-18}{2}=-9.
Como t_1\neq t_2\neq t_3, não existe um único t que satisfaça todas as igualdades, logo os vetores não são paralelos e os pontos não estão na mesma reta.

Resposta

Os pontos não são colineares.

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