Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F): \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se as duas inclusões abaixo são verdadeiras ou falsas:
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}
Informações dadas (implícitas no enunciado): estão envolvidos os conjuntos usuais dos números — naturais, inteiros e racionais — e precisa-se decidir a veracidade de cada inclusão.
Passo 2
Definições (vamos combinar estas definições claras para poder raciocinar sem confusão):
\mathbb{N} — conjunto dos números naturais. Aqui vou usar a definição comum \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. Nota: mesmo que alguém use \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, a conclusão sobre inclusão abaixo não muda; explico isso quando necessário.
\mathbb{Z} — conjunto dos números inteiros: \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
\mathbb{Q} — conjunto dos números racionais: \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{p}{q}\\ \middle|\\ p\in\mathbb{Z},\\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}.
Definição de subconjunto que vamos usar:
Dizer A\subset B significa, por definição, que todo elemento de A também pertence a B. Formalmente: \forall x\\ (x\in A \Rightarrow x\in B).
Passo 3
Verificação de \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.
Tomemos um elemento arbitrário n\in\mathbb{N}. Pela definição de \mathbb{N} acima, n é um número inteiro não negativo (por exemplo 0,1,2,\dots). Mas \mathbb{Z} contém todos os inteiros negativos, o zero e os inteiros positivos, ou seja, contém exatamente os elementos \dots,-2,-1,0,1,2,\dots. Logo qualquer n\in\mathbb{N} é também um elemento de \mathbb{Z}. Isso prova que
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.
Exemplo concreto para intuir: 5\in\mathbb{N} e também 5\in\mathbb{Z}. Se alguém define \mathbb{N} sem o 0, o argumento permanece válido: \{1,2,3,\dots\}\subset\mathbb{Z}.
Passo 4
Verificação de \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.
Tomemos um elemento arbitrário z\in\mathbb{Z}. Para mostrar que z\in\mathbb{Q} basta escrever z como uma fração com denominador não nulo e numerador inteiro. Mas isso é imediato: z=\dfrac{z}{1}, com z\in\mathbb{Z} e 1\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Pela definição de \mathbb{Q} fica claro que \dfrac{z}{1}\in\mathbb{Q}, ou seja z\in\mathbb{Q}. Portanto
\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.
Exemplo concreto: -3\in\mathbb{Z} e -3=-3/1\in\mathbb{Q}.
Passo 5
Observação sobre se as inclusões são próprias (ou seja, se há elementos que pertencem ao conjunto maior mas não ao menor):
Existe elemento em \mathbb{Z} que não está em \mathbb{N}: por exemplo -1\in\mathbb{Z} mas -1\notin\mathbb{N}. Logo a inclusão \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} é própria.
Existe elemento em \mathbb{Q} que não está em \mathbb{Z}: por exemplo \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q} mas \dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}. Logo a inclusão \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} é própria.
Portanto ambas as inclusões são verdadeiras (e, além disso, ambas são inclusões próprias).
Resposta
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}: V\n \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}: V