Verifique que o
monido das operações usuais de soma de vetores e multiplicação de número real por vetor é um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto
, equipado com a soma usual de vetores e a multiplicação usual de vetores por escalares reais, satisfaz os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, vamos mostrar que
é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar atende às propriedades exigidas na definição de espaço vetorial.
Passo 2
Verificar que
é um grupo abeliano:
Fechamento: Sejam . Então
Fechamento: Sejam
Associatividade: Para quaisquer
,
Comutatividade:
Elemento neutro: O vetor
satisfaz
Inverso aditivo: Para cada
, o inverso é
porque
Passo 3
Verificar as propriedades da multiplicação por escalar nas regras de espaço vetorial:
Fechamento: Para e
,
Fechamento: Para
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Associatividade da multiplicação escalar:
Elemento neutro escalar:
Passo 4
Como todas as propriedades da definição de espaço vetorial sobre
foram verificadas para
com as operações usuais, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial real.