Verifique que o R^2 monido das operações usuais de soma de vetores e multiplicação de número real por vetor é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto R^2, equipado com a soma usual de vetores e a multiplicação usual de vetores por escalares reais, satisfaz os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, vamos mostrar que (R^2,+) é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar atende às propriedades exigidas na definição de espaço vetorial.

Passo 2

Verificar que (R^2,+) é um grupo abeliano:
Fechamento: Sejam (x1,y1),(x2,y2)inR^2. Então
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)inR^2
Associatividade: Para quaisquer (xi,yi)inR^2,
l[(x1,y1)+(x2,y2)r]+(x3,y3) = (x1+x2+x3,;y1+y2+y3) = (x1,y1)+l[(x2,y2)+(x3,y3)r]
Comutatividade:
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) = (x2,y2)+(x1,y1)
Elemento neutro: O vetor (0,0) satisfaz
(x,y)+(0,0) = (x,y)e(0,0)+(x,y)=(x,y)
Inverso aditivo: Para cada (x,y), o inverso é (-x,-y) porque
(x,y)+(-x,-y) = (0,0)

Passo 3

Verificar as propriedades da multiplicação por escalar nas regras de espaço vetorial:
Fechamento: Para ainR e (x,y)inR^2,
acdot(x,y) = (a,x,;a,y)inR^2
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
acdotl[(x1,y1)+(x2,y2)r] = acdot(x1+x2,y1+y2) = (a(x1+x2),a(y1+y2)) = (a x1,a y1)+(a x2,a y2) = acdot(x1,y1)+acdot(x2,y2)
Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
(a+b)cdot(x,y) = l((a+b)x,(a+b)yr) = (a x + b x,;a y + b y) = (a x,a y)+(b x,b y) = acdot(x,y)+bcdot(x,y)
Associatividade da multiplicação escalar:
acdotl(bcdot(x,y)r) = acdot(bx,by) = (a(bx),a(by)) = l((ab)x,(ab)yr) = (ab)cdot(x,y)
Elemento neutro escalar:
1cdot(x,y) = (1cdot x,1cdot y) = (x,y)

Passo 4

Como todas as propriedades da definição de espaço vetorial sobre R foram verificadas para R^2 com as operações usuais, concluímos que R^2 é, de fato, um espaço vetorial real.

Resposta

R^2 com a soma usual de vetores e a multiplicação usual por escalares satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R, logo é um espaço vetorial real.

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