Verifique se \Re^{3} é espaço vetorial (3 propriedades alternando soma e produto por escalar) e. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para ver se \mathbb{R}^3 com as operações usuais é espaço vetorial, checando três propriedades que intercalam soma de vetores e multiplicação por escalar. Em geral, para um conjunto V ser espaço vetorial sobre \mathbb{R} basta verificar, entre outras, que
  1. a soma é fechada em V,
  2. a multiplicação por escalar é fechada em V,
  3. a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores.
    Vamos provar cada uma para \mathbb{R}^3.

Passo 2

(Propriedade 1: fechamento da soma)
Sejam \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3. A soma usual é
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (\,u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3\,).
Como u_i e v_i são reais, u_i+v_i\in\mathbb{R} para i=1,2,3. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} também é um triplo de reais, isto é, está em \mathbb{R}^3. Portanto a soma é fechada em \mathbb{R}^3.

Passo 3

(Propriedade 2: fechamento da multiplicação por escalar)
Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\in\mathbb{R}^3. A multiplicação usual é
\alpha\,\mathbf{u} = (\alpha\,u_1,\;\alpha\,u_2,\;\alpha\,u_3).
Como \alpha e cada u_i são números reais, \alpha\,u_i\in\mathbb{R}. Logo \alpha\,\mathbf{u} é um vetor de \mathbb{R}^3. Assim, a multiplicação por escalar também é fechada.

Passo 4

(Propriedade 3: distributividade do escalar sobre a soma de vetores)
Para \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3, temos
\alpha\,(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \alpha\,(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3) = (\alpha(u_1+v_1),\;\alpha(u_2+v_2),\;\alpha(u_3+v_3)).
Pela distributividade em \mathbb{R}, \alpha(u_i+v_i)=\alpha u_i + \alpha v_i. Então
\alpha\,(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (\alpha u_1+\alpha v_1,\;\alpha u_2+\alpha v_2,\;\alpha u_3+\alpha v_3) = (\alpha u_1,\alpha u_2,\alpha u_3) + (\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3) = \alpha\,\mathbf{u} + \alpha\,\mathbf{v}.
Logo a distributividade está confirmada.

Resposta

Sim. As três propriedades — fechamento da soma, fechamento da multiplicação por escalar e distributividade do escalar sobre a soma — são satisfeitas em \mathbb{R}^3 com as operações usuais, o que justifica que \mathbb{R}^3 é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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