Verifique se
é espaço vetorial (3 propriedades alternando soma e produto por escalar) e. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para ver se
com as operações usuais é espaço vetorial, checando três propriedades que intercalam soma de vetores e multiplicação por escalar. Em geral, para um conjunto
ser espaço vetorial sobre
basta verificar, entre outras, que
- a soma é fechada em
, - a multiplicação por escalar é fechada em
, - a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores.
Vamos provar cada uma para.
Passo 2
(Propriedade 1: fechamento da soma)
Sejam e
em
. A soma usual é
Sejam
Como
e
são reais,
para
. Logo
também é um triplo de reais, isto é, está em
. Portanto a soma é fechada em
.
Passo 3
(Propriedade 2: fechamento da multiplicação por escalar)
Seja e
. A multiplicação usual é
Seja
Como
e cada
são números reais,
. Logo
é um vetor de
. Assim, a multiplicação por escalar também é fechada.
Passo 4
(Propriedade 3: distributividade do escalar sobre a soma de vetores)
Para e
, temos
Para
Pela distributividade em
,
. Então
Logo a distributividade está confirmada.
Resposta
Sim. As três propriedades — fechamento da soma, fechamento da multiplicação por escalar e distributividade do escalar sobre a soma — são satisfeitas em
com as operações usuais, o que justifica que
é um espaço vetorial sobre
.