Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\right\} e V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}
é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.
Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, ele satisfaz:
  1. 0\in W.
  2. Se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos a condição de conter o vetor nulo.
O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é (0,0,0).
Aqui a primeira coordenada é 0, mas 0\in\mathbb{Q}.
Logo (0,0,0)\notin W.

Passo 3

Como a primeira propriedade falha, já concluímos que W não pode ser subespaço de V.
(Para reforçar, note que mesmo a soma de (\sqrt2,0,0)\in W com (-\sqrt2,0,0)\in W (0,0,0)\notin W, quebrando também a clausura na adição.)

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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