Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
Se A, B e C são independentes, então P(A cap B cap C)=P(A) cdot P(B) cdot P(C).

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente checar se a frase abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
“Se A, B e C são independentes, então
P(A cap B cap C) ;=; P(A),cdot,P(B),cdot,P(C)
O conteúdo aqui é probabilidade, mais especificamente independência de eventos. Para resolver, a gente vai precisar lembrar direito o que significa “eventos independentes” — tanto na versão de dois eventos quanto na de três.

Passo 2

Primeiro, refrescando a definição de independência para dois eventos A e B:
Dizemos que A e B são independentes se e somente se
P(Acap B) ;=; P(A),P(B)
Isso quer dizer que saber se A aconteceu não muda a probabilidade de B acontecer, e vice-versa. É a base de tudo.

Passo 3

Agora, para três eventos A, B e C, o que a gente chama de independência mútua (ou completa) é um pouquinho mais forte. Precisamos que valham, simultaneamente:
  1. P(A∩B) = P(A)P(B)
  2. P(A∩C) = P(A)P©
  3. P(B∩C) = P(B)P©
    e também
  4. P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P©.
Quando o enunciado diz “A, B e C são independentes” no sentido clássico, ele já está incluindo todos esses requisitos, especialmente o item 4. Logo, a igualdade
P(Acap Bcap C) = P(A),P(B),P(C)
é exatamente parte da definição de independência mútua.

Resposta

Verdadeiro.

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