Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial dada é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver a equação. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde podemos escrever a equação de forma que as variáveis se relacionem de um jeito específico, facilitando sua resolução. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, caso positivo, aplicar técnicas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se a equação diferencial é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial é homogênea se for possível escrever ambos os lados da equação como funções homogêneas do mesmo grau. Para verificar isso, vamos reescrever a equação de forma que fique claro o grau dos termos.
Passo 3
Vamos expressar a equação de forma que possamos identificar as funções homogêneas. Dividindo o numerador e o denominador por $ x^2 $, temos:
Agora, vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $, o que implica que $ y = v x $. Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ v’ $. Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por $ x $:
Passo 5
Observamos que a equação está separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos reorganizar a equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Podemos fatorar o denominador:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Simplificando a fração do lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Lado esquerdo:
Para a segunda integral, usamos frações parciais:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Multiplicando ambos os lados por $ v(v^2 - 3) $:
Comparando os coeficientes:
Para $ v^2 $: $ A + B = 0 $
Para o termo constante: $ -3A = 1 $ → $ A = -\frac{1}{3} $
Então, $ B = \frac{1}{3} $
Então, a integral fica:
Passo 8
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
Multiplicando todos os termos por -1:
Onde $ C’ $ é uma constante.
Passo 9
Para simplificar, podemos escrever a solução de forma implícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde $ C $ é a constante de integração.