Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
y^prime=2 x y /(y^2-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial dada é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver a equação. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde podemos escrever a equação de forma que as variáveis se relacionem de um jeito específico, facilitando sua resolução. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, caso positivo, aplicar técnicas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se a equação diferencial é homogênea. A equação dada é:
y' = 2xyy^2 - x^2
Uma equação diferencial é homogênea se for possível escrever ambos os lados da equação como funções homogêneas do mesmo grau. Para verificar isso, vamos reescrever a equação de forma que fique claro o grau dos termos.

Passo 3

Vamos expressar a equação de forma que possamos identificar as funções homogêneas. Dividindo o numerador e o denominador por $ x^2 $, temos:
x^2
Agora, vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $, o que implica que $ y = v x $. Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
y' = 2xyy^2 - x^2 = 2 cdot yx ( yx )^2 - 1
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
v = yx

Passo 4

Agora, vamos isolar $ v’ $. Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
v'
Agora, dividindo ambos os lados por $ x $:
v

Passo 5

Observamos que a equação está separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos reorganizar a equação:
v
Simplificando o lado esquerdo:
x
Podemos fatorar o denominador:
v^2 - 13v - v^3 dv = 1x dx
Então, temos:
-(v^2 - 1)v^3 - 3v dv = 1x dx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
-integral v^2 - 1v(v^2 - 3) dv = integral 1x dx
Simplificando a fração do lado esquerdo:
v^2 - 1v(v^2 - 3) = v^2 - 3 + 2v(v^2 - 3) = v^2 - 3v(v^2 - 3) + 2v(v^2 - 3) = 1v + 2v(v^2 - 3)
Então, a integral fica:
-integral ( 1v + 2v(v^2 - 3) ) dv = integral 1x dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Lado esquerdo:
-integral 1v dv - 2 integral 1v(v^2 - 3) dv
Para a segunda integral, usamos frações parciais:
1v(v^2 - 3) = Av + B vv^2 - 3
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Multiplicando ambos os lados por $ v(v^2 - 3) $:
A
Comparando os coeficientes:
Para $ v^2 $: $ A + B = 0 $
Para o termo constante: $ -3A = 1 $ → $ A = -\frac{1}{3} $
Então, $ B = \frac{1}{3} $
Então, a integral fica:
B

Passo 8

Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx
Multiplicando todos os termos por -1:
- ln|yx| + 23 ln|(yx)^2 - 3| = ln|x| + C
Onde $ C’ $ é uma constante.

Passo 9

Para simplificar, podemos escrever a solução de forma implícita:
ln|yx| - 23 ln|y^2x^2 - 3| = ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
ln|yx| - 23 ln|y^2x^2 - 3| = ln|x| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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