Verifique se a seguinte função é contínua em x=0 :
l x^3+6 x^2x^2, se x neq 0 7, se x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3+6x^2x^2, & xneq0, 7, & x=0,
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso, vamos lembrar que f é contínua em 0 se, e somente se,
limxto0f(x)=f(0)

Passo 2

Para xneq0, podemos simplificar a expressão
x^3+6x^2x^2
fazendo fator comum x^2 no numerador:
x^2(x+6)x^2=x+6
Logo, para xneq0 vale
f(x)=x+6

Passo 3

Agora calculamos o limite lateral em 0. Como f(x)=x+6 é uma função polinomial quando xneq0, seu limite em 0 é simplesmente
limxto0f(x)=limxto0(x+6)=0+6=6

Passo 4

O valor da função em 0 é dado por f(0)=7, mas o limite que encontramos é 6. Como
limxto0f(x)=6neq7=f(0),
concluímos que f não satisfaz a condição de continuidade em x=0.

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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