Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=0\right. e \left.z-t=0\right\}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambient V = \mathbb{R}^{4} e o subconjunto
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x + y = 0 \;\text{e}\; z - t = 0\}.
O conteúdo aqui é o teste de subespaço vetorial: precisamos mostrar que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a W. De fato,
0 + 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in W. Portanto W\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos
u = (x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\quad v = (x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})
em W, ou seja, x_{1}+y_{1}=0, z_{1}-t_{1}=0 e x_{2}+y_{2}=0, z_{2}-t_{2}=0. Então
u+v = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2},\,t_{1}+t_{2}).
Verificamos as condições em u+v:
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}) = (x_{1}+y_{1}) + (x_{2}+y_{2}) = 0 + 0 = 0,
(z_{1}+z_{2}) - (t_{1}+t_{2}) = (z_{1}-t_{1}) + (z_{2}-t_{2}) = 0 + 0 = 0.
Logo u+v\in W, e W é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W, com x+y=0 e z-t=0. Então
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z,\;\lambda t).
Verificamos
\lambda x + \lambda y = \lambda\,(x+y) = \lambda\cdot 0 = 0,
\lambda z - \lambda t = \lambda\,(z-t) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto \lambda u\in W, e W é fechado sob escalar.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{4}.

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