Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\{(x, 2 x, 3 x) \mid x \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 e o subconjunto
W = \{(x,2x,3x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos checar:
  1. se o vetor nulo está em W,
  2. se W é fechado sob adição de vetores,
  3. se W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificação do vetor nulo: basta tomar x=0. Então
(0,2\cdot 0,3\cdot 0) = (0,0,0),
logo (0,0,0)\in W. Portanto, W não é vazio e contém o vetor nulo de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u = (x,2x,3x)\in W \quad\text{e}\quad v = (y,2y,3y)\in W.
Então
u+v = (x+y,\,2x+2y,\,3x+3y) = (x+y,\,2(x+y),\,3(x+y)).
Como x+y\in\mathbb{R}, segue que u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja um escalar \lambda\in\mathbb{R} e
u = (x,2x,3x)\in W.
Então
\lambda u = (\lambda x,\,2\lambda x,\,3\lambda x) = (\lambda x,\,2(\lambda x),\,3(\lambda x)),
e como \lambda x\in\mathbb{R}, resulta que \lambda u\in W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3.

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