Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-t=0\right. e \left.z=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^4 e o subconjunto
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x+y-t=0,\;z=0\}.
Queremos verificar se W é um subespaço de V. Lembrando que basta mostrar que W\neq\emptyset e que W é fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo de V, \mathbf{0}=(0,0,0,0), pertence a W. De fato, em \mathbf{0} temos
2\cdot 0 + 0 - 0 = 0 \quad\text{e}\quad z=0,
logo \mathbf{0}\in W e W\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2) em W. Então
2x_1 + y_1 - t_1 = 0,\;z_1=0 \quad\text{e}\quad 2x_2 + y_2 - t_2 = 0,\;z_2=0.
Considere \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Verificamos
2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(t_1+t_2) =(2x_1+y_1-t_1)+(2x_2+y_2-t_2)=0+0=0
e
z_1+z_2=0+0=0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Então 2x+y-t=0 e z=0. Considere \lambda\mathbf{u}=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t). Temos
2(\lambda x)+(\lambda y)-(\lambda t)=\lambda(2x+y-t)=\lambda\cdot 0=0
e
\lambda z = \lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda\mathbf{u}\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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