Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y \in \mathbb{Q}\right\} e V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define W = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x+y\in \mathbb{Q}\}
e diz que V = \mathbb{R}^3.
Para que W seja subespaço de V, precisamos de duas coisas principais:
  1. W\subseteq V.
  2. W é não-vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificando a inclusão W\subseteq V:
os elementos de W são pares (x,y) em \mathbb{R}^2, enquanto os de V são triplas em \mathbb{R}^3. Portanto W\not\subseteq V e, sem nem precisar checar fechamento, conclui-se que W não pode ser subespaço de V.

Passo 3

Supondo que houve um equívoco tipográfico e que na verdade V=\mathbb{R}^2, bastaria checar a multiplicação escalar:
tomando (1,0)\in W pois 1+0=1\in\mathbb{Q} e o escalar \lambda=\sqrt{2}, temos
\lambda\,(1,0) = (\sqrt{2},0),
mas \sqrt{2}+0\notin\mathbb{Q}, logo \lambda\,(1,0)\notin W.
Isso mostra que W falha em ser fechado sob multiplicação escalar, portanto não é subespaço nem em \mathbb{R}^2.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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