Verifique quais dos seguintes conjuntos dos vetores do espaço vetorial R^3 linearmente independente.
(1,2,3),(1,4,9),(1,8,27).

Passo 1

Beleza, temos uma questão que pede para verificar se um conjunto de vetores no espaço vetorial R^3 é linearmente independente. Os vetores que vamos analisar são (1,2,3), (1,4,9), (1,8,27). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como podemos verificar isso usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Para verificar a independência linear dos vetores dados, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna dessa matriz. No nosso caso, a matriz ficará assim:
A = 1 & 1 & 1 2 & 4 & 8 3 & 9 & 27

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos calcular passo a passo:
det(A) = 1 cdot (4 cdot 27 - 8 cdot 9) - 1 cdot (2 cdot 27 - 8 cdot 3) + 1 cdot (2 cdot 9 - 4 cdot 3)
Calculando cada parte:
= 1 cdot (108 - 72) - 1 cdot (54 - 24) + 1 cdot (18 - 12)
= 1 cdot 36 - 1 cdot 30 + 1 cdot 6
= 36 - 30 + 6
= 12

Passo 5

O determinante da matriz A é 12, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores formam um conjunto linearmente independente no espaço R^3.

Resposta

Os vetores (1,2,3), (1,4,9), (1,8,27) são linearmente independentes no espaço vetorial R^3.

Exercícios relacionados