Verifique as seguintes desigualdades
raizn <= n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a desigualdade raizn <= n pra verificar. Isso faz parte da matéria de inequações e funções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre raízes quadradas e como elas se comparam com os próprios números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número, representada por raizn, é um número que multiplicado por ele mesmo dá n. Por exemplo, raiz4 = 2, porque 2 times 2 = 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar a desigualdade raizn <= n. Queremos saber para quais valores de n isso é verdadeiro. Vamos pensar em diferentes intervalos de n.

Passo 4

Caso 1: n = 0
raiz0 = 0 e 0 <= 0 é verdade. Então, a desigualdade vale para n = 0.

Passo 5

Caso 2: n = 1
raiz1 = 1 e 1 <= 1 também é verdade. Então, a desigualdade também vale para n = 1.

Passo 6

Caso 3: n > 1
Vamos escolher um número maior que 1, por exemplo, n = 4.
raiz4 = 2 e 2 <= 4 é verdade.
Na verdade, para qualquer n > 1, raizn será menor que n, porque multiplicar um número maior que 1 por ele mesmo aumenta o valor.

Passo 7

Caso 4: 0 < n < 1
Agora, vamos pegar um número entre 0 e 1, por exemplo, n = 0,25.
raiz0,25 = 0,5 e 0,5 <= 0,25?
Não! 0,5 é maior que 0,25, então a desigualdade não vale nesse intervalo.

Passo 8

Então, resumindo:
  • Para n = 0 e n = 1, a desigualdade raizn <= n é verdadeira.
  • Para n > 1, a desigualdade também é verdadeira.
  • Mas para 0 < n < 1, a desigualdade não é verdadeira.

Resposta

A desigualdade raizn <= n é verdadeira para todo número real n maior ou igual a 1, ou seja, para n >= 1.

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