Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é da forma
com
O conteúdo é “equações exatas”: primeiro vamos verificar se é exata (ou seja, se
), e em caso positivo encontrar a função potencial
cuja diferencial
nos dá a família de soluções
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Impondo
, calculamos
e igualamos a
. Logo
Integramos em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A família geral de soluções é dado implicitamente por