Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
\left(x^{2}-y\right) d x-\left(x+\operatorname{sen}^{2}(y)\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^{2}-y)\,dx-\bigl(x+\sin^{2}(y)\bigr)\,dy=0,
que é da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=x^{2}-y, \qquad N(x,y)=-\bigl(x+\sin^{2}(y)\bigr).
O conteúdo é “equações exatas”: primeiro vamos verificar se é exata (ou seja, se M_{y}=N_{x}), e em caso positivo encontrar a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial \,d\Phi=M\,dx+N\,dy nos dá a família de soluções \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
M_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y)=-1, \qquad N_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-(x+\sin^{2}(y))\bigr]=-1.
Como M_{y}=N_{x}=-1, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que \Phi_{x}=M. Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (x^{2}-y)\,dx =\frac{x^{3}}{3}-x\,y+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \Phi_{y}=N, calculamos
\Phi_{y}=-x+g'(y)
e igualamos a N=-\bigl(x+\sin^{2}(y)\bigr). Logo
-x+g'(y)=-x-\sin^{2}(y) \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=-\sin^{2}(y).
Integramos em y:
g(y)=-\int \sin^{2}(y)\,dy =-\Bigl(\frac{y}{2}-\frac{\sin(2y)}{4}\Bigr) =-\frac{y}{2}+\frac{\sin(2y)}{4}.

Passo 5

Substituindo g(y) em \Phi(x,y), obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y) =\frac{x^{3}}{3}-x\,y -\frac{y}{2} +\frac{\sin(2y)}{4}.
A família geral de soluções é dado implicitamente por
\Phi(x,y)=C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}-x\,y-\frac{y}{2}+\frac{\sin(2y)}{4}=C.

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