Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata, e caso não seja, encontrar um fator integrante. Em seguida, devemos determinar uma família geral de soluções. O conteúdo que vamos usar é o teste de exatidão de equações diferenciais
e o procedimento de encontrar a função potencial
quando a equação for exata.
Passo 2
Identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
Repare que
, logo
Portanto, a equação é exata e não precisa de fator integrante.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
isto é,
Passo 5
Agora impomos
. Calculamos
Isso deve ser igual a
Como
, temos
Portanto
Integramos em
:
. Assim
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é dada por
ou equivalentemente
com
.