Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
4 \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(3 y) \cos (x) d x-3 \cos (3 y) \cos (2 x) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
4\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}(3y)\,\cos(x)\,dx \;-\;3\cos(3y)\,\cos(2x)\,dy=0
é exata, e caso não seja, encontrar um fator integrante. Em seguida, devemos determinar uma família geral de soluções. O conteúdo que vamos usar é o teste de exatidão de equações diferenciais
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy\(=0\)
e o procedimento de encontrar a função potencial \Phi(x,y) quando a equação for exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 4\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\operatorname{sen}(3y), \qquad N(x,y) = -3\cos(3y)\,\cos(2x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =4\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}(3y)\bigr] =4\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\cdot3\cos(3y) =12\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\cos(3y),
\frac{\partial N}{\partial x} =-3\cos(3y)\,\frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x)\bigr] =-3\cos(3y)\cdot(-2\operatorname{sen}(2x)) =6\operatorname{sen}(2x)\,\cos(3y).
Repare que 12\operatorname{sen}(x)\cos(x)=6\operatorname{sen}(2x), logo
\frac{\partial M}{\partial y} =6\operatorname{sen}(2x)\,\cos(3y) =\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto, a equação é exata e não precisa de fator integrante.

Passo 4

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) =4\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\operatorname{sen}(3y).
Integramos em relação a x:
\Phi(x,y) =\int 4\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,\operatorname{sen}(3y)\,dx =\operatorname{sen}(3y)\int 4\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx =\operatorname{sen}(3y)\cdot2\operatorname{sen}^2(x)+h(y),
isto é,
\Phi(x,y)=2\operatorname{sen}^2(x)\,\operatorname{sen}(3y)+h(y).

Passo 5

Agora impomos \partial\Phi/\partial y=N(x,y). Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2\operatorname{sen}^2(x)\,\frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}(3y)\bigr]+h'(y) =2\operatorname{sen}^2(x)\cdot3\cos(3y)+h'(y) =6\operatorname{sen}^2(x)\,\cos(3y)+h'(y).
Isso deve ser igual a
N(x,y)=-3\cos(3y)\,\cos(2x).
Como \operatorname{sen}^2(x)=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}, temos
6\operatorname{sen}^2(x)\cos(3y) =3\bigl[1-\cos(2x)\bigr]\cos(3y) =3\cos(3y)-3\cos(2x)\cos(3y).
Portanto
3\cos(3y)-3\cos(2x)\cos(3y)+h'(y) =-3\cos(2x)\cos(3y) \;\Longrightarrow\; h'(y)=-3\cos(3y).
Integramos em y: h(y)=-\operatorname{sen}(3y). Assim
\Phi(x,y) =2\operatorname{sen}^2(x)\,\operatorname{sen}(3y)-\operatorname{sen}(3y) =\bigl[2\operatorname{sen}^2(x)-1\bigr]\operatorname{sen}(3y) =-\cos(2x)\,\operatorname{sen}(3y).

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é dada por
\Phi(x,y)=C \;\;\Longrightarrow\;\; -\cos(2x)\,\operatorname{sen}(3y)=C,
ou equivalentemente
\cos(2x)\,\operatorname{sen}(3y)=\tilde C,
com \tilde C=-C.

Resposta

\displaystyle \cos(2x)\,\operatorname{sen}(3y)=C.

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