Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, devemos encontrar um fator integrante, tornar a equação exata e, por fim, obter a família geral de soluções.
Passo 2
Para testar exatidão, identifiquemos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante dependente só de
. Usamos a condição
que depende apenas de
. Logo
Podemos tomar
(ignorando o valor absoluto, pois apenas muda a constante final).
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora
e
logo a equação torna-se exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
o que dá
. Assim
é constante.
Resposta
A família de soluções está dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.