Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
\left(x^{3}+y^{3}\right) d x-x y^{2} d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dx \;-\; x\,y^{2}\,dy \;=\;0
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, devemos encontrar um fator integrante, tornar a equação exata e, por fim, obter a família geral de soluções.

Passo 2

Para testar exatidão, identifiquemos
M(x,y)=x^{3}+y^{3}, \qquad N(x,y)=-x\,y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=3\,y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-y^{2}.
Como 3y^{2}\neq -y^{2}, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante dependente só de x. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{3y^{2}-(-y^{2})}{-x\,y^{2}} =\frac{4y^{2}}{-x\,y^{2}} =-\frac{4}{x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-4\ln|x|) =|x|^{-4}.
Podemos tomar \mu(x)=x^{-4} (ignorando o valor absoluto, pois apenas muda a constante final).
Multiplicando a equação original por x^{-4}, obtemos
\bigl(x^{-1}+x^{-4}y^{3}\bigr)\,dx \;-\; x^{-3}y^{2}\,dy \;=\;0.
Agora
\widetilde M(x,y)=x^{-1}+x^{-4}y^{3}, \qquad \widetilde N(x,y)=-x^{-3}y^{2},
e
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =3y^{2}x^{-4}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =-y^{2}\,(-3)x^{-4}=3y^{2}x^{-4},
logo a equação torna-se exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =\widetilde M =x^{-1}+x^{-4}y^{3}.
Integramos em x:
\psi(x,y) =\int\!\bigl(x^{-1}+x^{-4}y^{3}\bigr)\,dx =\ln|x| \;+\;y^{3}\int x^{-4}dx =\ln|x| \;-\;\tfrac{1}{3}y^{3}x^{-3}+h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-y^{2}x^{-3}+h'(y) \overset{!}{=}\widetilde N=-y^{2}x^{-3},
o que dá h'(y)=0. Assim h é constante.

Resposta

A família de soluções está dada implicitamente por
\ln|x| \;-\;\frac{y^{3}}{3\,x^{3}}=C,
onde C é constante arbitrária.

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