Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } x \leq 0 \\\\ -1, & \text { se } x>0\end{array}, c=0 ;\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\le0,\\\\ -1,&\text{se }x>0, \end{cases}
e pede para verificar que f não é derivável em c=0. O conteúdo que vamos usar é o fato de que, se uma função é derivável em um ponto, então ela é necessariamente contínua nesse ponto.

Passo 2

Recordando o teorema básico:
Se f é derivável em c então f é contínua em c.
Portanto, para mostrar que f não é derivável em 0 basta verificar que ela não é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos os limites laterais em 0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=-1.
Como esses dois limites não coincidem, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe, logo f é descontínua em 0.

Passo 4

Concluímos que f não é contínua em 0 e, portanto, não pode ser derivável em 0.

Resposta

A função f não é derivável em c=0.

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