Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=|3 x-12|, c=4;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=|3x-12|
não é derivável em c=4. Vamos usar a definição de derivada por limites laterais:
f'(4)=\lim_{h\to0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}
existe somente se os limites à esquerda e à direita coincidirem.

Passo 2

Reescrevemos f em forma piecewise, pois o valor de |3x-12| muda conforme o sinal de 3x-12:
f(x)= \begin{cases} 12-3x,& x<4,\\\\ 3x-12,& x\ge4. \end{cases}

Passo 3

Calculamos a derivada lateral pela esquerda em x=4:
\lim_{h\to0^-}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}.
Para h<0, 4+h<4 e portanto
f(4+h)=12-3(4+h)=12-12-3h=-3h, \quad f(4)=|3\cdot4-12|=0.
Logo
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{-3h-0}{h}=-3,
então a derivada pela esquerda é -3.

Passo 4

Agora a derivada lateral pela direita em x=4:
\lim_{h\to0^+}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}.
Para h>0, 4+h\ge4 e
f(4+h)=3(4+h)-12=12+3h-12=3h, \quad f(4)=0.
Portanto
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{3h-0}{h}=3,
logo a derivada pela direita é 3.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( -3\neq3), a derivada não existe em x=4.

Resposta

A função f(x)=|3x-12| não é derivável em c=4.

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