Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1 & \text { se } x \leq 0 \\\\ -x+1, & \text { se } x>0\end{array}, c=0 ;\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 2x+1 &\text{se }x\le0,\\\\ -\,x+1 &\text{se }x>0, \end{cases}
e pede para verificar que ela não é derivável em c=0. O conteúdo aqui é derivabilidade de funções por partes, e vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental pelas duas direções.

Passo 2

Calculamos a derivada pela esquerda em 0, ou seja
f'_{-}(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Como f(0)=2\cdot0+1=1 e para x<0 vale f(x)=2x+1, temos
f'_{-}(0) =\lim_{x\to0^-}\frac{2x+1-1}{x} =\lim_{x\to0^-}\frac{2x}{x} =2.

Passo 3

Calculamos a derivada pela direita em 0, ou seja
f'_{+}(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Para x>0 vale f(x)=-x+1 e f(0)=1, logo
f'_{+}(0) =\lim_{x\to0^+}\frac{-x+1-1}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{-x}{x} =-1.

Passo 4

As derivadas laterais em 0 são f'_{-}(0)=2 e f'_{+}(0)=-1, valores distintos. Como o limite do quociente incremental não coincide pelas duas direções, a derivada não existe em 0.

Resposta

A função não é derivável em c=0, pois as derivadas laterais valem 2 e -1, não coincidem.

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