Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1 & \text { se } x \leq 0 \\\\ -x+1, & \text { se } x>0\end{array}, c=0 ;\right.
e pede para verificar que ela não é derivável em c=0. O conteúdo aqui é derivabilidade de funções por partes, e vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental pelas duas direções.
Passo 2
Calculamos a derivada pela esquerda em 0, ou seja
f'_{-}(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Como f(0)=2\cdot0+1=1 e para x<0 vale f(x)=2x+1, temos
As derivadas laterais em 0 são f'_{-}(0)=2 e f'_{+}(0)=-1, valores distintos. Como o limite do quociente incremental não coincide pelas duas direções, a derivada não existe em 0.
Resposta
A função não é derivável em c=0, pois as derivadas laterais valem 2 e -1, não coincidem.