Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem que verificar que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos lembrar quais são as condições que definem um subespaço e ver se
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
em
é um subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Precisamos ver se esse vetor está em
. De acordo com a definição de
, o primeiro componente
precisa ser um número racional (
). Como
é racional, o vetor zero está em
. Então, a primeira condição tá ok.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos ver se a soma de dois vetores em
também está em
. Por exemplo, pegue
e
. Ambos estão em
porque
e
são racionais.
Somando eles:
Aqui, o primeiro componente
também é racional, então a soma tá em
. Até aqui, parece que a segunda condição tá satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos testar se multiplicar um vetor de
por um escalar mantém o vetor em
. Pegue
que está em
e multiplique por um escalar irracional, como
.
O primeiro componente
não é racional, então
não está em
. Isso quebra a terceira condição.
Resposta
Como
não mantém os vetores dentro do conjunto quando multiplicamos por escalares irracionais, ele não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
. Portanto, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.