Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de R^3.
U=(x, y, z) in R^3: x in Q

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem que verificar que o conjunto U = (x, y, z) in R^3 : x in Q não é um subespaço vetorial de R^3. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos lembrar quais são as condições que definem um subespaço e ver se U as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto U em R^3 é um subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor 0 = (0, 0, 0) está em U .
  2. Fechado sob adição: Se u e v estão em U , então u + v também está em U .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se u está em U e c é um escalar, então cu está em U .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto U .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em R^3 é 0 = (0, 0, 0) . Precisamos ver se esse vetor está em U . De acordo com a definição de U , o primeiro componente x = 0 precisa ser um número racional ( Q). Como 0 é racional, o vetor zero está em U . Então, a primeira condição tá ok.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos ver se a soma de dois vetores em U também está em U . Por exemplo, pegue u = (1, 2, 3) e v = (2, 3, 4) . Ambos estão em U porque x = 1 e x = 2 são racionais.
Somando eles:
u + v = (1+2, 2+3, 3+4) = (3, 5, 7)
Aqui, o primeiro componente x = 3 também é racional, então a soma tá em U . Até aqui, parece que a segunda condição tá satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos testar se multiplicar um vetor de U por um escalar mantém o vetor em U . Pegue u = (1, 2, 3) que está em U e multiplique por um escalar irracional, como c = raiz2 .
cu = raiz2 cdot (1, 2, 3) = (raiz2, 2raiz2, 3raiz2)
O primeiro componente x = raiz2 não é racional, então cu não está em U . Isso quebra a terceira condição.

Resposta

Como U não mantém os vetores dentro do conjunto quando multiplicamos por escalares irracionais, ele não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de R^3. Portanto, o conjunto U = (x, y, z) in R^3 : x in Q não é um subespaço vetorial de R^3.

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