Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é ou não um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Subespaços Vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial e testar se
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos testar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
Vamos substituir
,
, e
na equação de
:
Isso satisfaz a equação, então o vetor zero está em
.
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Então:
Agora, vamos somar
e verificar se está em
:
Expandindo
, temos:
Como sabemos que
e
, substituindo:
Para que
esteja em
, precisaríamos que
para quaisquer
e
, o que não é verdade a menos que um dos
's seja zero. Portanto,
não é fechado sob adição.
Resposta
Como
não é fechado sob adição vetorial, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.