Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de R^3.
V=(x, y, z) in R^3: x^2+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto V = (x, y, z) in R^3 : x^2 + y + z = 0 é ou não um subespaço vetorial de R^3 . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Subespaços Vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial e testar se V as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto V de R^3 é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor 0 = (0, 0, 0) pertence a V .
  2. Fechado sob adição: Se u e v estão em V , então u + v também está em V .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se u está em V e c é um escalar, então cu também está em V .
Vamos testar essas condições para o conjunto V .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em V :
Vamos substituir x = 0 , y = 0 , e z = 0 na equação de V :
0^2 + 0 + 0 = 0
Isso satisfaz a equação, então o vetor zero está em V .
2. Verificando se V é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em V . Então:
x1^2 + y1 + z1 = 0
x2^2 + y2 + z2 = 0
Agora, vamos somar u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e verificar se está em V :
(x1 + x2)^2 + (y1 + y2) + (z1 + z2)
Expandindo (x1 + x2)^2 , temos:
x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1 + y2 + z1 + z2
Como sabemos que x1^2 + y1 + z1 = 0 e x2^2 + y2 + z2 = 0 , substituindo:
0 + 2x1x2 + 0 = 2x1x2
Para que u + v esteja em V , precisaríamos que 2x1x2 = 0 para quaisquer x1 e x2 , o que não é verdade a menos que um dos x 's seja zero. Portanto, V não é fechado sob adição.

Resposta

Como V não é fechado sob adição vetorial, concluímos que V não é um subespaço vetorial de R^3 .

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