Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=cc3(1-x)^2 & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos mostrar que a função
f(x)= 3,(1-x)^2,&se 0<= x<=1, 0,&caso contrário, á
é uma densidade de probabilidade.
Conteúdo: densidade de variável contínua – toda densidade deve satisfazer duas coisas:
  1. ser sempre não negativa;
  2. integrar 1 no eixo real.
    Para resolver, vamos checar cada condição passo a passo.

Passo 2

Verificando não negatividade:
  • Para ou , , então claramente .
  • Para , sempre (quadrado de real nunca é negativo) e multiplicado por 3 também não vira negativo.
    Logo, em todo , .

Passo 3

Verificando se a integral é 1:
Precisamos calcular
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1 3,(1-x)^2,dx
Para resolver essa integral, façamos a subtituição integral0^1 3,(1-x)^2,dx =3integralx=0^1(1-x)^2,dx =3integralu=1^0u^2(-du) =3integralu=0^1u^2,du , logo integral0^1u^2,du =[u^33]0^1 =1^33-0 =13 .
  • Quando 3integral0^1u^2,du =3cdot13 =1 , .
  • Quando , .
    Então
E sabemos que
Logo
Portanto, .

Resposta

Como em todo e , concluímos que é, sim, uma densidade de probabilidade.

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