Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f é par ou ímpar e, se for, explicar o tipo de simetria do gráfico. A função dada é
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}.
Informações relevantes:
  • A expressão do numerador é x^{2}.
  • A expressão do denominador é x^{6}+1.
  • Observação do domínio: como x^{6}\ge 0 para todo x, tem-se x^{6}+1>0 para todo x. Logo, a função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio = todos os reais). Isso garante que faz sentido comparar f(x) e f(-x) para qualquer x.

Passo 2

Definições e ideia para testar (passo-a-passo didático):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, vale
f(-x)=f(x).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, vale
f(-x)=-f(x).
No exame rápido: calcular f(-x) e comparar com f(x). Se dá igualdade, é par; se dá igualdade com sinal trocado, é ímpar; se não dá nem uma nem outra, é nenhuma das duas.

Passo 3

Calcular f(-x) explicitamente, desenvolvendo cada potência com cuidado (sem pular etapas):
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{6}+1}.
Agora usar propriedades de potências: (-x)^{2}=x^{2} porque ao elevar ao quadrado o sinal menos some; e (-x)^{6}=x^{6} porque 6 é par, então o sinal também some. Substituindo:
f(-x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}.

Passo 4

Comparar com f(x). Como
f(-x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x)
para todo x no domínio, concluímos que a função satisfaz a condição de paridade. Portanto, f é uma função par.

Passo 5

Explicar a simetria do gráfico (didático e visual):
  • Uma função par tem simetria em relação ao eixo y. Em termos de pontos: se (a,b) pertence ao gráfico, então (-a,b) também pertence ao gráfico.
  • No caso de f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{6}+1}, isso significa que o ramo à direita de y (valores positivos de x) é a imagem espelhada, em relação ao eixo y, do ramo à esquerda (valores negativos de x).
  • Intuitivamente: como o valor da função depende apenas de potências pares de x (a menor potência é x^{2} e o denominador envolve x^{6}), trocar x por -x não altera nenhum dos termos, então o gráfico se espelha verticalmente.

Passo 6

Dica prática para a prova (como reconhecer rápido): se a expressão puder ser escrita apenas com potências pares de x (ou combinações de funções pares), a função costuma ser par. Sempre verificar o domínio antes de concluir (aqui o domínio é \mathbb{R}, então está tudo certo).

Resposta

A função f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{6}+1} é par. Simetria: simetria em relação ao eixo y (para todo x, os pontos (x,f(x)) e (-x,f(x)) pertencem ao gráfico).

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