Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é par ou ímpar e, se for, explicar o tipo de simetria do gráfico. A função dada é
Informações relevantes:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Observação do domínio: como
para todo , tem-se para todo . Logo, a função está definida para todo (domínio = todos os reais). Isso garante que faz sentido comparar e para qualquer .
Passo 2
Definições e ideia para testar (passo-a-passo didático):
- Uma função
é par se, para todo do domínio, vale
- Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, vale
No exame rápido: calcular
e comparar com
. Se dá igualdade, é par; se dá igualdade com sinal trocado, é ímpar; se não dá nem uma nem outra, é nenhuma das duas.
Passo 3
Calcular
explicitamente, desenvolvendo cada potência com cuidado (sem pular etapas):
Agora usar propriedades de potências:
porque ao elevar ao quadrado o sinal menos some; e
porque 6 é par, então o sinal também some. Substituindo:
Passo 4
Comparar com
. Como
para todo
no domínio, concluímos que a função satisfaz a condição de paridade. Portanto,
é uma função par.
Passo 5
Explicar a simetria do gráfico (didático e visual):
- Uma função par tem simetria em relação ao eixo
. Em termos de pontos: se pertence ao gráfico, então também pertence ao gráfico. - No caso de
, isso significa que o ramo à direita de (valores positivos de ) é a imagem espelhada, em relação ao eixo , do ramo à esquerda (valores negativos de ). - Intuitivamente: como o valor da função depende apenas de potências pares de
(a menor potência é e o denominador envolve ), trocar por não altera nenhum dos termos, então o gráfico se espelha verticalmente.
Passo 6
Dica prática para a prova (como reconhecer rápido): se a expressão puder ser escrita apenas com potências pares de
(ou combinações de funções pares), a função costuma ser par. Sempre verificar o domínio antes de concluir (aqui o domínio é
, então está tudo certo).
Resposta
A função
é par. Simetria: simetria em relação ao eixo
(para todo
, os pontos
e
pertencem ao gráfico).