Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico. f(x)=x^{5}-2 x^{3}+1.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a função f(x)=x^{5}-2 x^{3}+1.
Pede para verificar se a função é par ou ímpar e, caso seja, explicar o tipo de simetria do gráfico.
Passo 2
Definições essenciais (com explicação intuitiva):
Uma função f é par se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (reflexão vertical): o ponto (x,f(x)) e o ponto (-x,f(x)) estão ambos no gráfico.
Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem: o ponto (x,f(x)) corresponde ao ponto (-x,-f(x)), ou seja, há uma rotação de 180^\circ ao redor da origem que leva o gráfico em si.
Dica prática: para polinômios, termos com potências pares (como x^2, x^4) são pares, termos com potências ímpares (como x^3, x^5) são ímpares, e uma constante é uma função par.
Passo 3
Calcular f(-x) substituindo -x em vez de x:
f(-x)=(-x)^{5}-2(-x)^{3}+1.
Agora usar que (-x)^{5}=-x^{5} e (-x)^{3}=-x^{3}. Portanto
Como essa diferença é 2 (constante não nula), temos f(-x)\neq -f(x). Portanto a função não é ímpar.
Passo 6
Interpretação via decomposição em parte par e ímpar (útil para entendimento):
Qualquer função pode ser escrita como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
Como ambas as partes (par e ímpar) são não nulas, a soma não é puramente par nem puramente ímpar. Isso confirma algebraicamente que f é nem par nem ímpar.
Passo 7
Interpretação geométrica final (o que isso significa no gráfico):
A parte ímpar x^{5}-2x^{3} teria simetria de rotação de 180^\circ em relação à origem.
A parte par 1 é a função constante que desloca o gráfico verticalmente para cima em 1 unidade, e esse deslocamento destrói a simetria de origem.
Conclusão geométrica: o gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo y nem possui simetria central na origem; ele é o gráfico ímpar x^{5}-2x^{3} movido para cima por 1 unidade, então a simetria da origem desaparece.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para intuição:
f(1)=1^{5}-2\cdot1^{3}+1=0.
f(-1)=(-1)^{5}-2(-1)^{3}+1=-1+2+1=2.
Aqui f(-1)\neq f(1) e f(-1)\neq -f(1), ilustrando concretamente que não é par nem ímpar.