Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=x^{5}-2 x^{3}+1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função f(x)=x^{5}-2 x^{3}+1.
  • Pede para verificar se a função é par ou ímpar e, caso seja, explicar o tipo de simetria do gráfico.

Passo 2

Definições essenciais (com explicação intuitiva):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (reflexão vertical): o ponto (x,f(x)) e o ponto (-x,f(x)) estão ambos no gráfico.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem: o ponto (x,f(x)) corresponde ao ponto (-x,-f(x)), ou seja, há uma rotação de 180^\circ ao redor da origem que leva o gráfico em si.
Dica prática: para polinômios, termos com potências pares (como x^2, x^4) são pares, termos com potências ímpares (como x^3, x^5) são ímpares, e uma constante é uma função par.

Passo 3

Calcular f(-x) substituindo -x em vez de x:
f(-x)=(-x)^{5}-2(-x)^{3}+1.
Agora usar que (-x)^{5}=-x^{5} e (-x)^{3}=-x^{3}. Portanto
f(-x)=-x^{5}+2x^{3}+1.

Passo 4

Comparar f(-x) com f(x) para testar paridade:
f(x)=x^{5}-2x^{3}+1, \qquad f(-x)=-x^{5}+2x^{3}+1.
Verifica-se que, em geral, f(-x)\neq f(x) (por exemplo, os sinais dos termos x^{5} e x^{3} mudam). Logo, a função não é par.

Passo 5

Comparar f(-x) com -f(x) para testar ímpar:
-f(x)=-x^{5}+2x^{3}-1.
Note que f(-x)=-x^{5}+2x^{3}+1. A diferença entre f(-x) e -f(x) é
f(-x)-\bigl(-f(x)\bigr)=\bigl(-x^{5}+2x^{3}+1\bigr)-\bigl(-x^{5}+2x^{3}-1\bigr)=2.
Como essa diferença é 2 (constante não nula), temos f(-x)\neq -f(x). Portanto a função não é ímpar.

Passo 6

Interpretação via decomposição em parte par e ímpar (útil para entendimento):
Qualquer função pode ser escrita como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
f_{\text{par}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\qquad f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
Calculemos para nossa f:
f_{\text{par}}(x)=\frac{(x^{5}-2x^{3}+1)+(-x^{5}+2x^{3}+1)}{2}=\frac{2}{2}=1,
f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{(x^{5}-2x^{3}+1)-(-x^{5}+2x^{3}+1)}{2}=\frac{2x^{5}-4x^{3}}{2}=x^{5}-2x^{3}.í
Portanto
f(x)=\underbrace{1}_{\text{par}}+\underbrace{(x^{5}-2x^{3})}_{\text{ímpar}}.í
Como ambas as partes (par e ímpar) são não nulas, a soma não é puramente par nem puramente ímpar. Isso confirma algebraicamente que f é nem par nem ímpar.

Passo 7

Interpretação geométrica final (o que isso significa no gráfico):
  • A parte ímpar x^{5}-2x^{3} teria simetria de rotação de 180^\circ em relação à origem.
  • A parte par 1 é a função constante que desloca o gráfico verticalmente para cima em 1 unidade, e esse deslocamento destrói a simetria de origem.
  • Conclusão geométrica: o gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo y nem possui simetria central na origem; ele é o gráfico ímpar x^{5}-2x^{3} movido para cima por 1 unidade, então a simetria da origem desaparece.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para intuição:
  • f(1)=1^{5}-2\cdot1^{3}+1=0.
  • f(-1)=(-1)^{5}-2(-1)^{3}+1=-1+2+1=2.
    Aqui f(-1)\neq f(1) e f(-1)\neq -f(1), ilustrando concretamente que não é par nem ímpar.

Resposta

f(x)=x^{5}-2 x^{3}+1 não é par nem ímpar.

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