Verifique quais das seguintes funçōes sāo Transformaçōes Lineares:
com
.
Passo 1
O enunciado define
por
O conteúdo é transformação linear entre espaços vetoriais. Para mostrar que
é linear, vamos verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Definição de linearidade. Uma aplicação
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem
-
(aditividade), -
(homogeneidade).
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
.
Então
Então
e
Agrupando somas,
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
.
Então
Então
Passo 5
Conclusão: como
satisfaz aditividade e homogeneidade,
é uma transformação linear. Opcionalmente, sua matriz na base canônica é