Verifique quais das seguintes funçōes sāo Transformaçōes Lineares:
G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com G(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

O enunciado define G\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
G(x,y,z) = (\,x+y,\;y+z\,).
O conteúdo é transformação linear entre espaços vetoriais. Para mostrar que G é linear, vamos verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Definição de linearidade. Uma aplicação T é linear se, para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n e todo escalar \alpha, valem
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) (aditividade),
  2. T(\alpha\,\mathbf{u}) = \alpha\,T(\mathbf{u}) (homogeneidade).

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2).
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
G(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\bigr).
Agrupando somas,
G(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl(x_1+y_1,\;y_1+z_1\bigr) + \bigl(x_2+y_2,\;y_2+z_2\bigr) = G(\mathbf{u}) + G(\mathbf{v}).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z).
Então
\alpha\,\mathbf{u} = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z),
G(\alpha\,\mathbf{u}) = \bigl(\alpha x + \alpha y,\;\alpha y + \alpha z\bigr) = \bigl(\alpha(x+y),\;\alpha(y+z)\bigr) = \alpha\,G(x,y,z).

Passo 5

Conclusão: como G satisfaz aditividade e homogeneidade, G é uma transformação linear. Opcionalmente, sua matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

G é transformação linear.

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