Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-\llbracket x \rrbracket}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{x\to1}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}
existe. Aqui usamos a função piso \lfloor x\rfloor, que é constante em cada intervalo aberto entre inteiros, e portanto temos que analisar os limites laterais para x\to1.

Passo 2

Para x\to1^-, isto é x<1 mas próximo de 1, vale \lfloor x\rfloor=0. Então a expressão vira
\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}=\frac{x-0}{x-1}=\frac{x}{x-1}.
Quando x\to1^-, o numerador \to1 e o denominador \to0 por valores negativos, logo
\lim_{x\to1^-}\frac{x}{x-1}=-\infty.

Passo 3

Para x\to1^+, isto é x>1 mas próximo de 1, vale \lfloor x\rfloor=1. Então a expressão vira
\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\quad\text{(para }x\neq1\text{)}.
Portanto
\lim_{x\to1^+}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}=1.

Passo 4

Os limites laterais não coincidem ( -\infty de um lado e 1 do outro), então o limite em x=1 não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to1}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1} não existe, pois
\lim_{x\to1^-}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x-1}=1.

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