Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin(x)}{\cos^2(x)}.
O conteúdo é cálculo de limite com indeterminação do tipo \frac{0}{0} e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que, se o limite de f(x) e g(x) ao tendermos a um ponto é 0/0, então
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse último exista.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação. Quando x\to\frac{\pi}{2} temos \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, logo
1-\sin(x)\to 0 \quad\text{e}\quad \cos^2(x)\to 0,
ou seja, forma \tfrac{0}{0}. Podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
- Numerador: \frac{d}{dx}[\,1-\sin(x)\,]= -\cos(x).
- Denominador: \frac{d}{dx}[\cos^2(x)]=2\cos(x)\cdot(-\sin(x))=-2\sin(x)\cos(x).
O limite passa a ser
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{-\cos(x)}{-2\sin(x)\cos(x)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\sin(x)}.

Passo 4

Agora substituímos x=\tfrac{\pi}{2} em \frac{1}{2\sin(x)}:
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} = \frac{1}{2\cdot1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

Exercícios relacionados