Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 9\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
está em forma escalonada (“row echelon form”). Vamos usar a definição dessa forma para conferir os requisitos.

Passo 2

A forma escalonada exige três condições principais:
  1. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) deve estar à direita do pivot da linha anterior.
  2. Todos os elementos abaixo de um pivot devem ser zero.
  3. Linhas completamente nulas (se houver) devem aparecer abaixo das linhas não nulas.

Passo 3

Identificamos o pivot de cada linha não nula:
– Na linha 1, o primeiro não nulo é \,1 em coluna 1.
– Na linha 2, o primeiro não nulo é \,1 em coluna 2.
– Na linha 3, o primeiro não nulo é \,1 em coluna 4.

Passo 4

Verificamos as condições:
– As colunas dos pivôs são 1, depois 2, depois 4, ou seja, crescem estritamente da linha 1 para a linha 3.
– Abaixo de cada pivot não aparece nenhum elemento não nulo (as colunas 1, 2 e 4 estão zeradas nas linhas seguintes).
– Não há linhas totalmente nulas antes de qualquer linha não nula.

Passo 5

Como todos os critérios da forma escalonada estão satisfeitos, concluímos que a matriz já está em row echelon form.

Resposta

Sim, a matriz está em forma escalonada, pois os pivôs avançam à direita a cada linha e abaixo de cada pivot todos os elementos são zero.

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