Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se A está em forma escalonada (row echelon form). Para isso, vamos usar a definição de forma escalonada.]

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz as três condições a seguir:
  1. Todas as linhas nulas aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula fica à direita do pivô da linha anterior.
  3. Todos os elementos abaixo de cada pivô são zero.

Passo 3

Verificamos a condição 1: na linha 3 de A todos os elementos são zero, ou seja, é uma linha nula. Porém, há uma linha não nula (a linha 4) abaixo desta. Isso viola a exigência de que todas as linhas nulas devem ficar embaixo das linhas não nulas.

Passo 4

Para completar, analisamos as outras condições mesmo sabendo que já há violação na 1. Os pivôs de A estariam nas colunas 1 (linha 1), 2 (linha 2) e 4 (linha 4), e de fato abaixo de cada pivô todos os elementos são zero. Logo, só a condição 1 falha.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada, pois existe uma linha nula (linha 3) acima de uma linha não nula (linha 4), contrariando a condição de que todas as linhas nulas devem ficar abaixo das não nulas.

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