Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
está na forma escalonada (row echelon form). Para isso, vamos lembrar o que é forma escalonada e depois checar as condições para esta matriz.

Passo 2

Definição de forma escalonada de linhas:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) devem estar abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) deve aparecer estritamente à direita do pivot da linha anterior.
  3. Abaixo de cada pivot, todos os elementos dessa coluna devem ser zero.

Passo 3

Como não há linhas nulas em A, a condição (1) está satisfeita. Agora, vamos identificar o pivot em cada linha:
  • Linha 1: primeiro elemento não nulo em coluna 1 (pivot =1).
  • Linha 2: primeiro elemento não nulo em coluna 2 (pivot =2).
  • Linha 3: primeiros três elementos são zero, o primeiro não nulo está em coluna 4 (pivot =3).
  • Linha 4: primeiros quatro elementos são zero, o primeiro não nulo está em coluna 5 (pivot =4).

Passo 4

Verificamos se as colunas dos pivots aumentam estritamente de cima para baixo:
\text{coluna dos pivots} = 1,\;2,\;4,\;5,
e realmente 1 < 2 < 4 < 5. Logo, a condição (2) está satisfeita.

Passo 5

Finalmente, checamos se abaixo de cada pivot todos os elementos são zero:
  • Coluna 1 (pivot na linha 1): entradas em linhas 2, 3 e 4 são todas zero.
  • Coluna 2 (pivot na linha 2): entradas em linhas 3 e 4 são zero.
  • Coluna 4 (pivot na linha 3): entrada em linha 4 é zero.
  • Coluna 5 (pivot na linha 4): não há linhas abaixo, mas não há conflito.
    Portanto, a condição (3) também está satisfeita.

Resposta

A matriz está na forma escalonada, pois satisfaz todas as três condições da definição.

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