Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
está na forma escalonada (row echelon form). Para isso, vamos lembrar o que é forma escalonada e depois checar as condições para esta matriz.
Passo 2
Definição de forma escalonada de linhas:
- Todas as linhas nulas (se houver) devem estar abaixo das linhas não nulas.
- Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) deve aparecer estritamente à direita do pivot da linha anterior.
- Abaixo de cada pivot, todos os elementos dessa coluna devem ser zero.
Passo 3
Como não há linhas nulas em
, a condição (1) está satisfeita. Agora, vamos identificar o pivot em cada linha:
- Linha 1: primeiro elemento não nulo em coluna 1 (pivot
). - Linha 2: primeiro elemento não nulo em coluna 2 (pivot
). - Linha 3: primeiros três elementos são zero, o primeiro não nulo está em coluna 4 (pivot
). - Linha 4: primeiros quatro elementos são zero, o primeiro não nulo está em coluna 5 (pivot
).
Passo 4
Verificamos se as colunas dos pivots aumentam estritamente de cima para baixo:
e realmente
. Logo, a condição (2) está satisfeita.
Passo 5
Finalmente, checamos se abaixo de cada pivot todos os elementos são zero:
- Coluna 1 (pivot na linha 1): entradas em linhas 2, 3 e 4 são todas zero.
- Coluna 2 (pivot na linha 2): entradas em linhas 3 e 4 são zero.
- Coluna 4 (pivot na linha 3): entrada em linha 4 é zero.
- Coluna 5 (pivot na linha 4): não há linhas abaixo, mas não há conflito.
Portanto, a condição (3) também está satisfeita.
Resposta
A matriz está na forma escalonada, pois satisfaz todas as três condições da definição.