Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 3 \sqrt{2} & 0 \\\\ -4 \sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 3\sqrt{2} & 0 \\[4pt] -4\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é invertível.
Informações relevantes que temos:
  • Os elementos da matriz são os mostrados acima (peguei esses valores do enunciado).
  • A pergunta é apenas: a matriz A é invertível ou não?]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Isso significa que basta calcular \det(A) e verificar se ele é não nulo.
Dica prática: se a matriz tiver blocos com zeros (como aqui, onde a terceira linha e terceira coluna isolam o bloco 2\times2 do resto), o determinante da matriz em bloco triangular/diagonal é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. No nosso caso, A é efetivamente uma matriz em bloco diagonal com um bloco 2\times2 e um bloco 1\times1; portanto
\det(A)=\det\!\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 3\sqrt{2} \\[4pt] -4\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}\cdot\det\!(1).]

Passo 3

Agora calculemos o determinante do bloco 2\times2. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
temos \det(M)=ad-bc. Aqui tomamos
a=\sqrt{2},\qquad b=3\sqrt{2},\qquad c=-4\sqrt{2},\qquad d=\sqrt{2}.
Calcule passo a passo:
ad=(\sqrt{2})(\sqrt{2})=2,
bc=(3\sqrt{2})(-4\sqrt{2})=3\cdot(-4)\cdot(\sqrt{2})^2=-12\cdot 2=-24.
Portanto
\det\!\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 3\sqrt{2} \\[4pt] -4\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}=ad-bc=2-(-24)=26.
Como \det(1)=1, segue que
\det(A)=26\cdot 1=26.]

Passo 4

Interpretação final do cálculo: obtivemos \det(A)=26, que é diferente de zero. Logo, pela condição que vimos, A é invertível.
Uma etapa extra útil para prova (como se pedir a inversa): quando uma matriz é bloco diagonal como aqui, a inversa é o bloco diagonal das inversas dos blocos. Para o bloco 2\times2 usamos a fórmula da inversa:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando aos valores acima com determinante 26 obtemos a inversa do bloco 2\times2:
\frac{1}{26}\begin{pmatrix}\sqrt{2} & -3\sqrt{2}\\[4pt] 4\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}.
Como o bloco 1\times1 é 1, sua inversa é 1. Assim a inversa de A (caso queira decorar) é
A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{26} & -\frac{3\sqrt{2}}{26} & 0 \\[6pt] \frac{4\sqrt{2}}{26} & \frac{\sqrt{2}}{26} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que pode ser simplificada reduzindo fatores comuns se desejar.]

Resposta

Sim, A é invertível; \det(A)=26.
A^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{26} & -\frac{3\sqrt{2}}{26} & 0 \\[6pt] \frac{4\sqrt{2}}{26} & \frac{\sqrt{2}}{26} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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