Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rr}-3 & 6 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a matriz
A=\left[\begin{array}{rr}-3 & 6 \\[4pt] 4 & 5\end{array}\right]
é invertível. As informações dadas são os quatro elementos da matriz:
  • elemento a_{11}=-3,
  • elemento a_{12}=6,
  • elemento a_{21}=4,
  • elemento a_{22}=5.]

Passo 2

O que significa “invertível” para uma matriz quadrada 2\times2?
  • Uma matriz A é invertível se existe outra matriz B tal que A B = B A = I, onde I é a matriz identidade 2\times2.
  • Para matrizes 2\times2, existe um critério simples: a matriz
\left[\begin{array}{rr}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]
é invertível se, e somente se, seu determinante \det for diferente de zero. O determinante é dado por
\det = ad - bc.
Esse número mede, entre outras interpretações, a “área” distorcida pela matriz; se \det=0 a transformação colapsa dimensão e não tem inversa.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz A. Identificando a=-3, b=6, c=4, d=5, temos
\det(A)=ad-bc = (-3)\cdot 5 - 6\cdot 4.
Calcule passo a passo:
(-3)\cdot 5 = -15, \qquad 6\cdot 4 = 24,
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\det(A) = -15 - 24 = -39.

Passo 4

Interpretando o resultado:
\det(A) = -39 \neq 0,
portanto, pela condição para 2\times2, a matriz A é invertível. Agora, se quiser encontrar explicitamente a inversa, para uma matriz 2\times2 a fórmula é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[\begin{array}{rr}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Substituindo os valores:
A^{-1}=\frac{1}{-39}\left[\begin{array}{rr}5 & -6 \\[4pt] -4 & -3\end{array}\right].
Multiplicando o escalar e simplificando frações:
A^{-1}=\left[\begin{array}{rr}-\dfrac{5}{39} & \dfrac{6}{39} \\[8pt] \dfrac{4}{39} & \dfrac{3}{39}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr}-\dfrac{5}{39} & \dfrac{2}{13} \\[8pt] \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13}\end{array}\right].]

Passo 5

Para ter mais confiança, faço uma verificação rápida calculando o produto A A^{-1} (só um elemento como amostra). Calcule o elemento (1,1):
(-3)\cdot\left(-\dfrac{5}{39}\right) + 6\cdot\left(\dfrac{4}{39}\right) = \dfrac{15}{39} + \dfrac{24}{39} = \dfrac{39}{39} = 1.
Isso confirma o primeiro elemento da identidade; os demais elementos também conferem (padrão da fórmula). Então a inversa está correta.

Resposta

A matriz é invertível. A^{-1}=\left[\begin{array}{rr}-\dfrac{5}{39} & \dfrac{2}{13} \\[8pt] \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13}\end{array}\right]]

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