Informação útil: para uma matriz quadrada 3\times3, uma forma direta de verificar invertibilidade é calcular o determinante; a matriz é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0.]
Passo 2
Escolha do método e porquê (curtinho e prático).
Vou usar o teste do determinante porque é o método mais direto: para 3\times3 há uma fórmula simples (fácil de fazer na prova sem calculadora) e dá resposta imediata.
Alternativamente, poderia mostrar dependência linear entre linhas/colunas; farei isso depois como confirmação intuitiva.
Passo 3
Lembrete da fórmula do determinante de uma matriz 3\times3.
Teorema fundamental: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=0, concluímos que A NÃO é invertível (é singular).
Passo 6
Confirmação alternativa — mostrar dependência linear entre linhas (intuição e cheque rápido).
Se \det(A)=0\), as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Vou achar coeficientes \((x,y,z)\neq(0,0,0)\) tais que \(x\cdot\text{linha}_1+y\cdot\text{linha}_2+z\cdot\text{linha}_3=0\).
- Escrevendo as equações (uma por coluna):
\[\begin{cases} -1\cdot x + 2\cdot y -4\cdot z = 0,\\[4pt] 3\cdot x + 4\cdot y +2\cdot z = 0,\\[4pt] -4\cdot x + 1\cdot y -9\cdot z = 0. \end{cases}
Resolver: da primeira equação x=2y-4z\]. Substituindo na segunda:
\[3(2y-4z)+4y+2z=0 \;\Rightarrow\; 6y-12z+4y+2z=0 \;\Rightarrow\; 10y-10z=0 \;\Rightarrow\; y=z.\]
- Então \(y=z e x=2y-4z=2z-4z=-2z. Tomando z=1 (qualquer valor não zero funciona) obtemos x=-2,\;y=1,\;z=1.
- Isso dá a relação entre linhas:
Essa relação não-trivial confirma que as linhas são dependentes, o que implica que A é singular (não invertível). É uma checagem extra que reforça o resultado do determinante.]
Passo 7
Dica prática para a prova (curta e útil).
Para 3\times3, calcular o determinante direto pela fórmula (ou por Sarrus) é rápido; se der 0, opcionalmente tente encontrar uma combinação linear simples entre linhas/colunas para justificar sem cálculo extra.
Se conseguir ver uma relação do tipo c_1\text{linha}_1+c_2\text{linha}_2+c_3\text{linha}_3=0 com coeficientes pequenos, isso já prova singularidade imediatamente.