Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -4 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ -4 & 2 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: verificar se a matriz é invertível (ou seja, decidir se existe a inversa).
  • Matriz fornecida:
A=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] -4 & 2 & -9 \end{pmatrix}
  • Informação útil: para uma matriz quadrada 3\times3, uma forma direta de verificar invertibilidade é calcular o determinante; a matriz é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0.]

Passo 2

Escolha do método e porquê (curtinho e prático).
  • Vou usar o teste do determinante porque é o método mais direto: para 3\times3 há uma fórmula simples (fácil de fazer na prova sem calculadora) e dá resposta imediata.
  • Alternativamente, poderia mostrar dependência linear entre linhas/colunas; farei isso depois como confirmação intuitiva.

Passo 3

Lembrete da fórmula do determinante de uma matriz 3\times3.
  • Para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
  • Explicando cada parte: cada termo multiplica um elemento da primeira linha por um determinante 2\times2 (chamado menor), e alterna sinais +,-,+.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado — calcular passo a passo.
  • Identificando os elementos da primeira linha:
a_{11}=-1,\qquad a_{12}=3,\qquad a_{13}=-4.
  • Calcular os menores 2\times2:
\begin{aligned} M_{11}&=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=4\cdot(-9)-1\cdot2=-36-2=-38,\\[4pt] M_{12}&=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=2\cdot(-9)-1\cdot(-4)=-18+4=-14,\\[4pt] M_{13}&=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=2\cdot2-4\cdot(-4)=4+16=20. \end{aligned}
  • Agora montar \det(A) usando a fórmula:
\begin{aligned} \det(A)&=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}\\[4pt] &=(-1)\cdot(-38)-3\cdot(-14)+(-4)\cdot20. \end{aligned}
  • Fazer as contas com calma:
(-1)\cdot(-38)=38,\qquad -3\cdot(-14)=+42,\qquad (-4)\cdot20=-80.
  • Somando:
\det(A)=38+42-80=80-80=0.]

Passo 5

Interpretação do resultado do determinante.
  • Encontramos \det(A)=0.
  • Teorema fundamental: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=0, concluímos que A NÃO é invertível (é singular).

Passo 6

Confirmação alternativa — mostrar dependência linear entre linhas (intuição e cheque rápido).
  • Se \det(A)=0\), as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Vou achar coeficientes \((x,y,z)\neq(0,0,0)\) tais que \(x\cdot\text{linha}_1+y\cdot\text{linha}_2+z\cdot\text{linha}_3=0\). - Escrevendo as equações (uma por coluna): \[\begin{cases} -1\cdot x + 2\cdot y -4\cdot z = 0,\\[4pt] 3\cdot x + 4\cdot y +2\cdot z = 0,\\[4pt] -4\cdot x + 1\cdot y -9\cdot z = 0. \end{cases}
  • Resolver: da primeira equação x=2y-4z\]. Substituindo na segunda: \[3(2y-4z)+4y+2z=0 \;\Rightarrow\; 6y-12z+4y+2z=0 \;\Rightarrow\; 10y-10z=0 \;\Rightarrow\; y=z.\] - Então \(y=z e x=2y-4z=2z-4z=-2z. Tomando z=1 (qualquer valor não zero funciona) obtemos x=-2,\;y=1,\;z=1.
    - Isso dá a relação entre linhas:
-2\cdot\text{linha}_1 + 1\cdot\text{linha}_2 + 1\cdot\text{linha}_3 = 0.
  • Essa relação não-trivial confirma que as linhas são dependentes, o que implica que A é singular (não invertível). É uma checagem extra que reforça o resultado do determinante.]

Passo 7

Dica prática para a prova (curta e útil).
  • Para 3\times3, calcular o determinante direto pela fórmula (ou por Sarrus) é rápido; se der 0, opcionalmente tente encontrar uma combinação linear simples entre linhas/colunas para justificar sem cálculo extra.
  • Se conseguir ver uma relação do tipo c_1\text{linha}_1+c_2\text{linha}_2+c_3\text{linha}_3=0 com coeficientes pequenos, isso já prova singularidade imediatamente.

Resposta

A matriz não é invertível, pois \det(A)=0.

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