Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}\left(z_{2} \neq 0\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com z_{2}\neq0, vale
\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)} \;=\;\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}.
Para isso, vamos usar a definição de conjugado e a fórmula de divisão de números complexos escritos em forma cartesiana.

Passo 2

Escrevendo
z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,
com a,b,c,d\in\mathbb{R} e c+di\neq0, sabemos que
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} =\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}.

Passo 3

Aplicando o conjugado em \tfrac{z_{1}}{z_{2}}, invertemos o sinal da parte imaginária:
\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)} =\overline{\bigl(\tfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}\bigr)} =\frac{(ac+bd)-(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos separadamente \overline{z_{1}} e \overline{z_{2}}:
\overline{z_{1}}=a-bi, \quad \overline{z_{2}}=c-di.
Logo,
\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}} =\frac{a-bi}{c-di} =\frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)} =\frac{(ac+bd)-(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}.

Passo 5

Comparando os resultados de \overline\bigl(z_{1}/z_{2}\bigr) e de \overline{z_{1}}/\overline{z_{2}}, vemos que ambos são iguais a
\frac{(ac+bd)-(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}.

Resposta

Portanto, fica verificado que, para todo z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com z_{2}\neq0,
\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)} =\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}.

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