Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo z\in\mathbb{C} e todo n\in\mathbb{N}, vale
\overline{z^n} = (\overline{z})^n.
O conteúdo envolvido é a propriedade de que conjugação é multiplicativa, ou seja,
\overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w},
e usaremos um argumento por indução em n.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 temos
\overline{z^1} = \overline{z} \quad\text{e}\quad (\overline{z})^1 = \overline{z},
logo a propriedade vale quando n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum k\in\mathbb{N} já seja verdade que
\overline{z^k} = (\overline{z})^k.
Então, para n = k+1 temos
\overline{z^{k+1}} = \overline{\,z^k \cdot z\,} = \overline{z^k}\,\overline{z} \;=\; (\overline{z})^k\,\overline{z} \;=\; (\overline{z})^{k+1},
usando a propriedade de conjugação multiplicativa no segundo passo e a hipótese de indução no terceiro.

Passo 4

Pela base e pelo passo indutivo, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\displaystyle \overline{z^n} = (\overline{z})^n para todo z\in\mathbb{C} e todo n\in\mathbb{N}.

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