Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\left(z_{2} \neq 0\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de módulo em quociente de números complexos:
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \frac{\bigl|z_{1}\bigr|}{\bigl|z_{2}\bigr|},
onde z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e z_{2}\neq0.
Vamos usar as definições de módulo e conjugado, mais a propriedade de módulo de produto:
|z\,w| = |z|\;|w|.

Passo 2

Escrevemos
\frac{z_{1}}{z_{2}} = z_{1}\,\frac{1}{z_{2}}
e aplicamos a propriedade de módulo de produto:
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \bigl|\,z_{1}\,\bigr|\;\bigl|\tfrac{1}{z_{2}}\bigr| = |z_{1}|\;\bigl|\tfrac{1}{z_{2}}\bigr|.

Passo 3

Para achar \bigl|\tfrac1{z_{2}}\bigr|, usamos que, para z_{2}\neq0,
\frac{1}{z_{2}} = \frac{\overline{z_{2}}}{|z_{2}|^{2}},
onde \overline{z_{2}} é o conjugado de z_{2}. Tomando módulo:
\bigl|\tfrac{1}{z_{2}}\bigr| = \frac{\bigl|\overline{z_{2}}\bigr|}{|z_{2}|^{2}} = \frac{|z_{2}|}{|z_{2}|^{2}} = \frac{1}{|z_{2}|},
pois \bigl|\overline{z_{2}}\bigr|=|z_{2}|.

Passo 4

Substituindo em \left|\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\right| = |z_{1}|\;\bigl|\tfrac1{z_{2}}\bigr|, obtemos
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = |z_{1}|\;\frac{1}{|z_{2}|} = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.

Resposta

\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \frac{\bigl|z_{1}\bigr|}{\bigl|z_{2}\bigr|}.

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