Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|

Passo 1

O objetivo é verificar a propriedade
\lvert z_{1}\cdot z_{2}\rvert = \lvert z_{1}\rvert\;\lvert z_{2}\rvert
para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}. Vamos usar a representação cartesiana dos complexos e a definição de módulo.

Passo 2

Escrevemos
z_{1}=x_{1}+i\,y_{1}, \qquad z_{2}=x_{2}+i\,y_{2},
com x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in\mathbb{R}. Da definição,
\lvert z_{1}\rvert = \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}, \qquad \lvert z_{2}\rvert = \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}.

Passo 3

Calculamos o produto
z_{1}z_{2} =(x_{1}+i\,y_{1})(x_{2}+i\,y_{2}) =(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}) +i\,(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).

Passo 4

O quadrado do módulo de z_{1}z_{2} é
\lvert z_{1}z_{2}\rvert^{2} =(\Re(z_{1}z_{2}))^{2}+(\Im(z_{1}z_{2}))^{2} =(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^{2} +(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.

Passo 5

Expandindo e somando os termos, obtemos
(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2} =x_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2} =(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}).
Portanto
\lvert z_{1}z_{2}\rvert^{2} =(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}) =\lvert z_{1}\rvert^{2}\;\lvert z_{2}\rvert^{2}.

Passo 6

Como todos os módulos são não negativos, basta tirar raiz para concluir
\lvert z_{1}z_{2}\rvert =\lvert z_{1}\rvert\;\lvert z_{2}\rvert.

Resposta

\lvert z_{1}z_{2}\rvert = \lvert z_{1}\rvert \cdot \lvert z_{2}\rvert.

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