Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\left|z^{n}\right|=|z|^{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado z\in\mathbb{C} e n\in\mathbb{N}, vale
\lvert z^{n}\rvert = \lvert z\rvert^{n}.
O conteúdo principal é a propriedade de módulo em produtos de números complexos e o princípio da indução em \mathbb{N}.

Passo 2

Lembremos da propriedade básica do módulo: para quaisquer z,w\in\mathbb{C},
\lvert z\,w\rvert = \lvert z\rvert\;\lvert w\rvert.
É essa multiplicatividade que usaremos na prova por indução.

Passo 3

(Base da indução) Para n=1 temos
\lvert z^{1}\rvert = \lvert z\rvert = \lvert z\rvert^{1},
logo a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 4

(Paso indutivo) Suponha que para certo k\in\mathbb{N} já seja verdade que
\lvert z^{k}\rvert = \lvert z\rvert^{k}.
Então, para n = k+1, usando a propriedade de módulo de produto,
\lvert z^{k+1}\rvert =\lvert z^{k}\cdot z\rvert =\lvert z^{k}\rvert\;\lvert z\rvert =\lvert z\rvert^{k}\;\lvert z\rvert =\lvert z\rvert^{k+1}.
Assim, por indução, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A propriedade \lvert z^{n}\rvert = \lvert z\rvert^{n} está demonstrada.

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