Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
z-\bar{z}=2 \operatorname{Im}(z) i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
z - \overline{z} = 2\,\Im(z)\,i.
O que vamos usar é a definição de parte real e imaginária de um complexo e a definição de conjugado.

Passo 2

Escrevemos
z = x + y\,i,
com x = \Re(z) e y = \Im(z).

Passo 3

Pelo definição, o conjugado é
\overline{z} = x - y\,i.

Passo 4

Subtraindo, obtemos
z - \overline{z} = (x + y\,i) - (x - y\,i) = x + y\,i - x + y\,i = 2\,y\,i.

Passo 5

Como y = \Im(z), fica
2\,y\,i = 2\,\Im(z)\,i,
o que demonstra a propriedade.

Resposta

z - \overline{z} = 2\,\Im(z)\,i.

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