Sabendo que z=x+y i \in \mathbb{C}, encontre as partes real e imaginária de:
z^{3}

Passo 1

O enunciado pede as partes real e imaginária de z^3, sabendo que z = x + iy com x,y\in\mathbb{R}.
Para isso, vamos usar o Teorema Binomial e as potências de i: \,i^2=-1, \,i^3=-i.

Passo 2

Aplicando o binômio em
z^3 = (x + i y)^3
temos
z^3 = x^3 + 3x^2\,(i y) + 3x\,(i y)^2 + (i y)^3.
Como (i y)^2 = -y^2 e (i y)^3 = -i\,y^3, fica
z^3 = x^3 + 3i\,x^2y - 3x\,y^2 - i\,y^3.

Passo 3

Agora agrupamos coeficientes real e imaginário em
z^3 = \bigl(x^3 - 3x\,y^2\bigr) \;+\; i\,\bigl(3x^2y - y^3\bigr).

Resposta

\Re(z^3) = x^3 - 3x\,y^2 \Im(z^3) = 3x^2y - y^3

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