Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\operatorname{Im}(z) \leq|\operatorname{Im}(z)| \leq|z|

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\operatorname{Im}(z)\;\le\;|\operatorname{Im}(z)|\;\le\;|z|
para todo z\in\mathbb{C}. O conteúdo envolve valor absoluto e módulo de número complexo. Vamos usar que, se z = x + yi com x,y\in\mathbb{R}, então \operatorname{Im}(z)=y e
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Passo 2

Mostramos primeiro que \operatorname{Im}(z)\le|\operatorname{Im}(z)|. Como \operatorname{Im}(z)=y é um número real, vale em \mathbb{R} a desigualdade
y \;\le\; |y|.
De fato, se y\ge0 então |y|=y e a desigualdade é igualdade; se y<0 então |y|=-y>0>y, logo y\le|y|.

Passo 3

Agora provamos que |\operatorname{Im}(z)|\le|z|. Ainda com z=x+yi, temos
|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \;\ge\;\sqrt{y^2} \;=\;|y| \;=\;|\operatorname{Im}(z)|.
Aqui usamos que x^2\ge0, então x^2+y^2\ge y^2 e, por monotonia da raiz quadrada não negativa, tira-se a desigualdade.

Resposta

\operatorname{Im}(z)\;\le\;|\operatorname{Im}(z)|\;\le\;|z|.

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