Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número complexo \,z, temos
z \in \mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad z = \overline{z}.
O conteúdo principal é usar a forma padrão z = x + i y (com x,y\in\mathbb{R}) e a definição de conjugado \overline{z}=x - i y.

Passo 2

Suponha primeiro que z\in\mathbb{R}.
Isso significa que, na escrita z=x+iy, a parte imaginária é nula: y=0.
Logo
z = x + i\cdot 0 = x \quad\text{e}\quad \overline{z} = x - i\cdot 0 = x.
Portanto z = \overline{z}.

Passo 3

Agora suponha que z = \overline{z}.
Escrevendo z = x + i y, temos
x + i y \;=\; \overline{z} \;=\; x - i y.
Isto implica que as partes imaginárias são iguais:
y = -\,y \quad\Longrightarrow\quad 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Como y=0, segue que z = x + i\cdot 0 = x\in\mathbb{R}.

Resposta

A propriedade está verificada:
z \in \mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad z = \overline{z}.

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