Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}, vale
\overline{z_{1}\cdot z_{2}} \;=\;\overline{z_{1}}\;\cdot\;\overline{z_{2}}.
O conteúdo aqui é álgebra de números complexos e conjugado. Vamos representar cada complexo na forma cartesiana e usar propriedades de soma e produto.

Passo 2

Escrevemos
z_{1} = a + i b \quad\text{e}\quad z_{2} = c + i d,
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos o produto z_{1}z_{2}:
z_{1}z_{2} = (a+ib)(c+id) = ac + i\,ad + i\,bc + i^{2}bd = (ac - bd) + i\,(ad + bc).

Passo 4

Agora tomamos o conjugado de z_{1}z_{2}:
\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{(ac - bd) + i\,(ad + bc)} = (ac - bd) - i\,(ad + bc).

Passo 5

Por outro lado, calculamos \overline{z_{1}} e \overline{z_{2}} e em seguida o seu produto:
\overline{z_{1}} = a - i b, \quad \overline{z_{2}} = c - i d,
\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}} = (a - ib)(c - id) = ac - i\,ad - i\,bc + i^{2}bd = (ac - bd) - i\,(ad + bc).

Passo 6

Comparando os resultados de \overline{z_{1}z_{2}} e de \overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}, vemos que coincidem exatamente em ambas as partes real e imaginária. Portanto,
\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.

Resposta

\overline{z_{1}\cdot z_{2}} = \overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}.

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