Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
z \cdot \bar{z}=|z|^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade envolvendo o produto de um número complexo pelo seu conjugado e o módulo, a saber:
z\cdot\bar{z}=|z|^{2}.
O conteúdo aqui é a álgebra de números complexos, usando a forma cartesiana de z e as definições de conjugado e de módulo.

Passo 2

Escrevemos o número complexo na forma cartesiana. Seja
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}. O conjugado de z é
\bar{z} = x - i\,y.

Passo 3

Multiplicamos z pelo seu conjugado:
z\cdot\bar{z} = (x + i\,y)\,(x - i\,y) = x^{2} - i\,x\,y + i\,x\,y - i^{2}y^{2}.
Como -i\,x\,y + i\,x\,y = 0 e i^{2}=-1, obtemos
z\cdot\bar{z} = x^{2} + y^{2}.

Passo 4

Pela definição de módulo, temos
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}},
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|z|^{2} = \bigl(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\bigr)^{2} = x^{2} + y^{2}.

Passo 5

Comparando as expressões de z\cdot\bar{z} e de |z|^{2}, concluímos que
z\cdot\bar{z} = |z|^{2}.

Resposta

z\cdot\bar{z} = |z|^{2}.

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