Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
k) e^{Z} é inteira e \left(e^{Z}\right)^{\prime}=e^{Z}
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas coisas sobre a função exponencial complexa:
Mostrar que e^{z} é inteira (ou seja, holomorfa em todo o plano \mathbb{C}).
Mostrar que a derivada de e^{z} é ela mesma: \bigl(e^{z}\bigr)' = e^{z}.
Informações dadas/variáveis: z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e n\in\mathbb{Z}. Não há outros dados numéricos — a tarefa é provar propriedades formais da função exponencial.
Passo 2
Definição conveniente para trabalhar: a função exponencial complexa é dada pela série de potências
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Explicando: aqui \frac{z^{n}}{n!} significa \dfrac{z\cdot z\cdots z}{n!} (produto de n cópias de z quando n\ge 1; para n=0 toma-se o termo 1). A série é uma soma infinita indexada por n.
Primeiro passo técnico: mostrar que essa série converge para todo z\in\mathbb{C}. Use o Teste da razão (ratio test). Considere o termo geral
Para cada z fixo, \dfrac{|z|}{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Pelo teste da razão, a série \sum a_n(z) converge absolutamente para todo z. Conclusão: a série tem raio de convergência infinito, ou seja, converge em todo \mathbb{C}.
Comentário didático curto: ter raio de convergência infinito significa que a série de potências representa uma função analítica em todo o plano — esta é a ideia que vamos usar para afirmar que e^{z} é inteira.
Passo 3
Definição de “inteira” (expliquei de forma simples): uma função f é inteira se for holomorfa (analítica) em todo \mathbb{C}. Um teorema padrão de séries de potências diz: uma série de potências
\sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n
converge dentro do seu disco de convergência e define aí uma função analítica; dentro do disco a série pode ser diferenciada termo-a-termo e a série derivada tem o mesmo raio de convergência. No nosso caso a série está centrada em 0 e o raio é infinito, logo a função definida por \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} é analítica em todo \mathbb{C}. Portanto e^{z} é inteira.
Breve explicação do porquê do termo-a-termo ser permitido (intuição): para séries de potências, sobre qualquer compacto K\subset\mathbb{C} a série e a série dos termos diferenciados convergem uniformemente; isso permite trocar soma e derivação. Essa é uma propriedade padrão de séries de potências (pode ser vista como consequência do teorema de Weierstrass sobre convergência uniforme). Não é preciso inventar um argumento longo na prova de prova-de-prova: basta usar esse teorema já conhecido em análise complexa.
Passo 4
Agora calcule a derivada termo-a-termo. A serie original:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Diferenciando cada termo (válido porque estamos dentro do raio de convergência, que é infinito), obtém-se
Mas a série do lado direito é exatamente a definição de e^{z}. Portanto
\bigl(e^{z}\bigr)'=e^{z}.
Passo 6
Resumo final do argumento e conclusão: a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} converge para todo z\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito), por isso define uma função analítica em todo o plano — isto é, e^{z} é inteira. Como séries de potências podem ser diferenciadas termo-a-termo dentro do disco de convergência, ao diferenciar a série de e^{z} obtemos novamente a mesma série; portanto \bigl(e^{z}\bigr)'=e^{z}.
Dica amigável: na prova da prova essa é a forma mais direta e segura — definindo e^{z} pela série e usando propriedades gerais de séries de potências. Se quiser, dá para ver exemplos numéricos: para z=0 a série vale 1; para z=1 recupera-se a definição clássica e=\sum_{n=0}^\infty 1/n!. Tudo consistente.