Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
k) e^{Z} é inteira e \left(e^{Z}\right)^{\prime}=e^{Z}

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas coisas sobre a função exponencial complexa:
  • Mostrar que e^{z} é inteira (ou seja, holomorfa em todo o plano \mathbb{C}).
  • Mostrar que a derivada de e^{z} é ela mesma: \bigl(e^{z}\bigr)' = e^{z}.
Informações dadas/variáveis: z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e n\in\mathbb{Z}. Não há outros dados numéricos — a tarefa é provar propriedades formais da função exponencial.

Passo 2

Definição conveniente para trabalhar: a função exponencial complexa é dada pela série de potências
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Explicando: aqui \frac{z^{n}}{n!} significa \dfrac{z\cdot z\cdots z}{n!} (produto de n cópias de z quando n\ge 1; para n=0 toma-se o termo 1). A série é uma soma infinita indexada por n.
Primeiro passo técnico: mostrar que essa série converge para todo z\in\mathbb{C}. Use o Teste da razão (ratio test). Considere o termo geral
a_n(z)=\frac{z^{n}}{n!}.
Calcule a razão
\left|\frac{a_{n+1}(z)}{a_n(z)}\right| =\left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{z^{n}}\right| =\frac{|z|}{n+1}.
Para cada z fixo, \dfrac{|z|}{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Pelo teste da razão, a série \sum a_n(z) converge absolutamente para todo z. Conclusão: a série tem raio de convergência infinito, ou seja, converge em todo \mathbb{C}.
Comentário didático curto: ter raio de convergência infinito significa que a série de potências representa uma função analítica em todo o plano — esta é a ideia que vamos usar para afirmar que e^{z} é inteira.

Passo 3

Definição de “inteira” (expliquei de forma simples): uma função f é inteira se for holomorfa (analítica) em todo \mathbb{C}. Um teorema padrão de séries de potências diz: uma série de potências
\sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n
converge dentro do seu disco de convergência e define aí uma função analítica; dentro do disco a série pode ser diferenciada termo-a-termo e a série derivada tem o mesmo raio de convergência. No nosso caso a série está centrada em 0 e o raio é infinito, logo a função definida por \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} é analítica em todo \mathbb{C}. Portanto e^{z} é inteira.
Breve explicação do porquê do termo-a-termo ser permitido (intuição): para séries de potências, sobre qualquer compacto K\subset\mathbb{C} a série e a série dos termos diferenciados convergem uniformemente; isso permite trocar soma e derivação. Essa é uma propriedade padrão de séries de potências (pode ser vista como consequência do teorema de Weierstrass sobre convergência uniforme). Não é preciso inventar um argumento longo na prova de prova-de-prova: basta usar esse teorema já conhecido em análise complexa.

Passo 4

Agora calcule a derivada termo-a-termo. A serie original:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Diferenciando cada termo (válido porque estamos dentro do raio de convergência, que é infinito), obtém-se
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{z^{n}}{n!}\right)=\frac{n z^{n-1}}{n!}=\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}\quad\text{para }n\ge 1,
e o termo n=0 é constante 1 cuja derivada é 0. Logo a série derivate é
\bigl(e^{z}\bigr)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}.

Passo 5

Reindexando a soma para compará-la com a série original: coloque m=n-1. Quando n percorre 1,2,3,\dots, m percorre 0,1,2,\dots. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^{m}}{m!}.
Mas a série do lado direito é exatamente a definição de e^{z}. Portanto
\bigl(e^{z}\bigr)'=e^{z}.

Passo 6

Resumo final do argumento e conclusão: a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} converge para todo z\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito), por isso define uma função analítica em todo o plano — isto é, e^{z} é inteira. Como séries de potências podem ser diferenciadas termo-a-termo dentro do disco de convergência, ao diferenciar a série de e^{z} obtemos novamente a mesma série; portanto \bigl(e^{z}\bigr)'=e^{z}.
Dica amigável: na prova da prova essa é a forma mais direta e segura — definindo e^{z} pela série e usando propriedades gerais de séries de potências. Se quiser, dá para ver exemplos numéricos: para z=0 a série vale 1; para z=1 recupera-se a definição clássica e=\sum_{n=0}^\infty 1/n!. Tudo consistente.

Resposta

e^{z} é inteira e \bigl(e^{z}\bigr)'=e^{z}

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