Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
b) \operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade para todo z\in\mathbb{C}:
\operatorname{sen}(-z) = -\operatorname{sen} z.
Informações dadas:
  • A variável z é um número complexo arbitrário.
  • A tarefa é provar que a função seno estende-se ao complexo de forma ímpar, isto é, que o seno de -z é o negativo do seno de z.

Passo 2

Definição por séries de potências (fórmula que vou usar primeiro). Uma forma muito utilizada para definir a função seno em \mathbb{C} é pela sua série de Taylor (ou série de Maclaurin). A série é:
\operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula com calma:
  • O índice n percorre todos os inteiros não negativos 0,1,2,\dots.
  • Cada termo é (-1)^n (que alterna sinal), multiplicado por z^{2n+1} (potência ímpar) e dividido por (2n+1)! (fatorial).
  • Essa série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos \sum_{n=0}^\infty \left|(-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right| converge, o que garante que é lícito manipular a série termo a termo (por exemplo, substituir z por -z e fatorar constantes).

Passo 3

Substituição direta na série: calcular \operatorname{sen}(-z) usando a definição por séries.
\operatorname{sen}(-z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-z)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora vou simplificar o termo (-z)^{2n+1}. Como 2n+1 é um número ímpar, vale
(-z)^{2n+1} = -\, z^{2n+1}.
Portanto cada termo da série para \operatorname{sen}(-z) é igual a (-1)^n \dfrac{-\, z^{2n+1}}{(2n+1)!}, então
\operatorname{sen}(-z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{-\, z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Fatorando o sinal negativo fora da soma (justificativa: a série converge absolutamente, logo é permitido fatorar um constante comum termo a termo):
\operatorname{sen}(-z) = - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Mas a soma à direita é exatamente a série que define \operatorname{sen} z. Assim
\operatorname{sen}(-z) = -\,\operatorname{sen} z.
Isso conclui a prova usando a definição por séries.

Passo 5

Comentário alternativo (útil para verificar por outro caminho): definição exponencial. Outra definição equivalente, que é muito comum e direta, é
\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i},
onde e^{w} é a exponencial complexa. Usando essa expressão, substitui-se -z:
\operatorname{sen}(-z) = \frac{e^{-iz} - e^{iz}}{2i}.
Note que e^{-iz} - e^{iz} = -\bigl(e^{iz} - e^{-iz}\bigr). Logo
\operatorname{sen}(-z) = -\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = -\,\operatorname{sen} z.
Assim a propriedade também fica clara por essa definição; as duas abordagens (série e exponencial) são equivalentes e dão o mesmo resultado.

Resposta

\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z

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