Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
b) \operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z
Passo 1
O enunciado pede para verificar a propriedade para todo z\in\mathbb{C}:
\operatorname{sen}(-z) = -\operatorname{sen} z.
Informações dadas:
A variável z é um número complexo arbitrário.
A tarefa é provar que a função seno estende-se ao complexo de forma ímpar, isto é, que o seno de -z é o negativo do seno de z.
Passo 2
Definição por séries de potências (fórmula que vou usar primeiro). Uma forma muito utilizada para definir a função seno em \mathbb{C} é pela sua série de Taylor (ou série de Maclaurin). A série é:
\operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula com calma:
O índice n percorre todos os inteiros não negativos 0,1,2,\dots.
Cada termo é (-1)^n (que alterna sinal), multiplicado por z^{2n+1} (potência ímpar) e dividido por (2n+1)! (fatorial).
Essa série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos \sum_{n=0}^\infty \left|(-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right| converge, o que garante que é lícito manipular a série termo a termo (por exemplo, substituir z por -z e fatorar constantes).
Passo 3
Substituição direta na série: calcular \operatorname{sen}(-z) usando a definição por séries.