Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
d) e^{Z_{1}+Z_{2}}=e^{Z_{1}} \cdot e^{Z_{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá que Z_{1},Z_{2}\in\mathbb{C} (números complexos) e pede para verificar a identidade
e^{Z_{1}+Z_{2}}=e^{Z_{1}}\cdot e^{Z_{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As letras Z_{1} e Z_{2} representam números complexos.
  • A propriedade a ser verificada é uma igualdade envolvendo a função exponencial complexa.

Passo 2

Definição que vamos usar (essa é a definição clássica da exponencial complexa, e serve como base para a verificação):
e^{Z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Z^{n}}{n!}\qquad\text{para todo }Z\in\mathbb{C}.
Explicando a definição de maneira didática: isto diz que para qualquer número complexo Z se pode somar infinitos termos \dfrac{Z^{n}}{n!} (começando em n=0) e o resultado dessa soma é e^{Z}. Aqui n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=6), e Z^{n} é a potência de Z. Essa série é absolutamente convergente para todo Z, o que significa que a soma dos módulos \sum_{n=0}^\infty \dfrac{|Z|^n}{n!} converge — um fato que garante que podemos manipular somas infinitas com segurança (trocar ordem de somação, fazer produto de séries, etc.).

Passo 3

Escrevendo as séries para e^{Z_{1}} e e^{Z_{2}}:
e^{Z_{1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Z_{1}^{k}}{k!}, \qquad e^{Z_{2}}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{Z_{2}^{m}}{m!}.
Aqui usei índices diferentes ( k e m) para deixar claro os somatórios que vamos multiplicar.

Passo 4

Produto das duas séries: como ambas são absolutamente convergentes, o produto das séries é igual ao chamado produto de Cauchy, que corresponde ao somatório duplo
e^{Z_{1}}\cdot e^{Z_{2}} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Z_{1}^{k}}{k!}\right) \left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{Z_{2}^{m}}{m!}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{Z_{1}^{k}Z_{2}^{m}}{k!\,m!}.
Comentário didático sobre a troca: a absoluta convergência permite trocar a ordem de soma e reorganizar a soma dupla sem problemas (é essa garantia que torna o argumento rigoroso).

Passo 5

Reescrever a soma dupla como soma simples por n=k+m (padrão do produto de Cauchy). Agrupando todos os termos cuja soma de índices é n obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{Z_{1}^{k}Z_{2}^{m}}{k!\,m!} = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{Z_{1}^{k}Z_{2}^{\,n-k}}{k!\,(n-k)!}.
Explicação: para cada n fixo, os pares (k,m) com k\ge0, m\ge0 e k+m=n correspondem exatamente aos termos \frac{Z_{1}^{k}Z_{2}^{n-k}}{k!(n-k)!} com k=0,1,\dots,n.

Passo 6

Simplificar a soma interna usando o binômio de Newton. Note que
\sum_{k=0}^{n}\frac{Z_{1}^{k}Z_{2}^{\,n-k}}{k!\,(n-k)!} = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}Z_{1}^{k}Z_{2}^{\,n-k} = \frac{(Z_{1}+Z_{2})^{n}}{n!},
onde usamos que \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} e o teorema binomial
(Z_{1}+Z_{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}Z_{1}^{k}Z_{2}^{\,n-k}.
Então a soma total fica
e^{Z_{1}}\cdot e^{Z_{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(Z_{1}+Z_{2})^{n}}{n!}.

Passo 7

Reconhecendo a série para a exponencial:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(Z_{1}+Z_{2})^{n}}{n!}=e^{Z_{1}+Z_{2}}.
Portanto juntando os passos anteriores chegamos à igualdade desejada.

Passo 8

Pequeno exemplo ilustrativo (para fixar a ideia, usando os primeiros termos): expandindo até n=2,
e^{Z_{1}}\approx 1+Z_{1}+\tfrac{Z_{1}^{2}}{2},\qquad e^{Z_{2}}\approx 1+Z_{2}+\tfrac{Z_{2}^{2}}{2}.
O produto truncado é
(1+Z_{1}+\tfrac{Z_{1}^{2}}{2})(1+Z_{2}+\tfrac{Z_{2}^{2}}{2}) =1+(Z_{1}+Z_{2})+\tfrac{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}{2}+\text{(termos de ordem } \ge3),
o que já mostra no nível truncado a mesma estrutura binomial que levou ao resultado geral. Isso ajuda a intuir por que a igualdade vale.

Resposta

e^{Z_{1}+Z_{2}}=e^{Z_{1}}\cdot e^{Z_{2}}

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