Verifique as seguintes propriedades da função exponencial (
):
d)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá que
(números complexos) e pede para verificar a identidade
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As letras
e representam números complexos. - A propriedade a ser verificada é uma igualdade envolvendo a função exponencial complexa.
Passo 2
Definição que vamos usar (essa é a definição clássica da exponencial complexa, e serve como base para a verificação):
Explicando a definição de maneira didática: isto diz que para qualquer número complexo
se pode somar infinitos termos
(começando em
) e o resultado dessa soma é
. Aqui
é o fatorial de
(por exemplo
), e
é a potência de
. Essa série é absolutamente convergente para todo
, o que significa que a soma dos módulos
converge — um fato que garante que podemos manipular somas infinitas com segurança (trocar ordem de somação, fazer produto de séries, etc.).
Passo 3
Escrevendo as séries para
e
:
Aqui usei índices diferentes (
e
) para deixar claro os somatórios que vamos multiplicar.
Passo 4
Produto das duas séries: como ambas são absolutamente convergentes, o produto das séries é igual ao chamado produto de Cauchy, que corresponde ao somatório duplo
Comentário didático sobre a troca: a absoluta convergência permite trocar a ordem de soma e reorganizar a soma dupla sem problemas (é essa garantia que torna o argumento rigoroso).
Passo 5
Reescrever a soma dupla como soma simples por
(padrão do produto de Cauchy). Agrupando todos os termos cuja soma de índices é
obtemos
Explicação: para cada
fixo, os pares
com
,
e
correspondem exatamente aos termos
com
.
Passo 6
Simplificar a soma interna usando o binômio de Newton. Note que
onde usamos que
e o teorema binomial
Então a soma total fica
Passo 7
Reconhecendo a série para a exponencial:
Portanto juntando os passos anteriores chegamos à igualdade desejada.
Passo 8
Pequeno exemplo ilustrativo (para fixar a ideia, usando os primeiros termos): expandindo até
,
O produto truncado é
o que já mostra no nível truncado a mesma estrutura binomial que levou ao resultado geral. Isso ajuda a intuir por que a igualdade vale.