Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
c) \cos (-z)=\cos z

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade (para z\in\mathbb{C}):
\cos(-z)=\cos z.
Informações fornecidas:
  • A variável z é um número complexo qualquer.
  • A tarefa é mostrar que a igualdade acima é verdadeira para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Vou lembrar uma definição muito útil de cosseno para números complexos: a forma exponencial (fórmula de Euler generalizada). Por definição,
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2},
onde e^{w} é a exponencial complexa. Algumas propriedades básicas da exponencial complexa que eu uso e que valem para quaisquer a,b\in\mathbb{C} são:
  • \,e^{a+b}=e^{a}\,e^{b} (a exponencial transforma soma em produto);
  • \,e^{0}=1;
  • \,e^{-w}=(e^{w})^{-1}.
    Essas propriedades seguem diretamente da definição de e^{w} pela série
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
cuja convergência é absoluta para todo w\in\mathbb{C}, permitindo multiplicações e manipulações usuais.

Passo 3

Agora calculo \cos(-z) usando a definição exponencial e faço as manipulações passo a passo:
\cos(-z)=\frac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2}.
Dentro das exponenciais, simplifico os sinais:
e^{i(-z)}=e^{-i z}, \qquad e^{-i(-z)}=e^{i z}.
Substituindo de volta:
\cos(-z)=\frac{e^{-i z}+e^{i z}}{2}.
Usando a comutatividade da soma (trocar a ordem dos termos não altera o valor), reescrevo essa fração como
\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2},
que, pela definição, é exatamente \cos z.

Passo 4

Dou uma segunda demonstração alternativa, que muitos acham intuitiva: pela série de Taylor de cosseno. A série de Maclaurin de \cos z é
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Note que aparecem apenas potências pares z^{2n}. Substituindo -z no lugar de z,
\cos(-z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-z)^{2n}}{(2n)!}.
Como (-z)^{2n}=(-1)^{2n}z^{2n}=z^{2n} (pois (-1)^{2n}=1), obtém-se exatamente a mesma série:
\cos(-z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=\cos z.
A série converge para todo z\in\mathbb{C}, então a igualdade vale para todos os complexos.

Passo 5

Conclusão: a propriedade é verdadeira para todo z\in\mathbb{C}; o cosseno é uma função par (mesmo) no conjunto dos complexos.

Resposta

\cos(-z)=\cos z

Exercícios relacionados