Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a propriedade (para
):
Informações fornecidas:
- A variável
é um número complexo qualquer. - A tarefa é mostrar que a igualdade acima é verdadeira para todo
.
Passo 2
Vou lembrar uma definição muito útil de cosseno para números complexos: a forma exponencial (fórmula de Euler generalizada). Por definição,
onde
é a exponencial complexa. Algumas propriedades básicas da exponencial complexa que eu uso e que valem para quaisquer
são:
-
(a exponencial transforma soma em produto); -
; -
.
Essas propriedades seguem diretamente da definição depela série
cuja convergência é absoluta para todo
, permitindo multiplicações e manipulações usuais.
Passo 3
Agora calculo
usando a definição exponencial e faço as manipulações passo a passo:
Dentro das exponenciais, simplifico os sinais:
Substituindo de volta:
Usando a comutatividade da soma (trocar a ordem dos termos não altera o valor), reescrevo essa fração como
que, pela definição, é exatamente
.
Passo 4
Dou uma segunda demonstração alternativa, que muitos acham intuitiva: pela série de Taylor de cosseno. A série de Maclaurin de
é
Note que aparecem apenas potências pares
. Substituindo
no lugar de
,
Como
(pois
), obtém-se exatamente a mesma série:
A série converge para todo
, então a igualdade vale para todos os complexos.
Passo 5
Conclusão: a propriedade é verdadeira para todo
; o cosseno é uma função par (mesmo) no conjunto dos complexos.